Trapecio isosceles, sencillo.

ricarlos
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Trapecio isosceles, sencillo.

Mensaje sin leer por ricarlos » Jue 18 Jul, 2013 11:42 pm

Sean [math] y [math] trapecios isosceles inscritos en circunferencias de distinto diametro. Si [math] es base comun y [math], demuestre que [math].
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trapeciofacil.png
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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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DiegoLedesma
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Re: Trapecio isosceles, sencillo.

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Vie 11 Ene, 2019 9:30 pm

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Por ser $ABCD$ y $CDEF$ trapecios isósceles, se tiene que $CB=AD$, $DB=AC$ y $DE=CF$, $CE=DF$ respectivamente.
Además, $ABCD$ y $CDEF$ son cuadriláteros cíclicos. Luego, por el teorema de Ptolomeo: $DF.CE=EF.CD+DE.CF$ y $DB.AC=AB.CD+CB.AD$.
Recordando que $AB=EF$, tenemos: $CE^{2}=AB.CD+DE^{2}$ y $DB^{2}=AB.CD+CB^{2}$. Restando esta última expresión a la 1ª, se obtiene: $CE^{2}-DB^{2}=DE^{2}-CB^{2}$
$\therefore$ $CB^{2}+CE^{2}=DE^{2}+DB^{2}$ (Q.E.D.)

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