Torneo de las Ciudades 2005 P2

[ktc123]

Sean [math]W_1 y [math]W_2 circunferencias tales que [math]W_1 pasa por el centro de [math]W_2. Las rectas tangentes a [math]W_2 trazadas por un punto [math]C de [math]W_1 cortan nuevamente a [math]W_1 en [math]A y [math]B, respectivamente. Demostrar que el segmento [math]AB es perpendicular a la recta que une los centros de las circunferencias.

[ktc123]

Una idea que mata al problema

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Si [math]O es el centro de [math]W_1 y [math]O' el de [math]W_2 entonces [math]O es circuncentro de [math]ABO' y por lo tanto si [math]M es punto medio de [math]AB, [math]AB\perp OM y ver que [math]M esta en [math]OO' es facil

[Gianni De Rico]

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Sean [math]O_1 el centro de [math]W_1, [math]O_2 el centro de [math]W_2, [math]D el punto de tangencia de [math]CA con [math]W_2 y [math]E el punto de tangencia de [math]CB con [math]W_2. Entonces [math]A\widehat DO_2=B\widehat EO_2=90° y [math]O_2\widehat BC=180°-C\widehat AO_2=O_2\widehat AD por cíclico. Como [math]O_2E=O_2D por radios, resulta [math]\triangle ADO_1=\triangle BEO_2\Rightarrow O_2A=O_2B. Además [math]O_1A=O_1B por radios. Luego, [math]O_1O_2 es mediatriz de [math]AB.