Bisectrices paralelas.

ricarlos
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Bisectrices paralelas.

Mensaje sin leer por ricarlos » Vie 20 Sep, 2013 11:01 pm

Dado un [math], cuyo ortocentro es [math], y los puntos [math] y [math] que resultan de la interseccion de las bisectrices de los angulos [math] y [math] con los respectivos circuncirculos de los triangulos [math] y [math], demostrar que [math] es un paralelogramo.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Gianni De Rico

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Re: Bisectrices paralelas.

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 24 Sep, 2017 11:49 am

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Sean [math] y [math] los pies de las alturas desde [math] y [math]. Luego [math] es cíclico[math]. Si reflejamos [math] por [math] para obtener [math], entonces [math] es cíclico. Entonces las circunscritas a [math] y [math] tienen el mismo radio (por reflexión), luego, las circunscritas a [math] y a [math] tienen el mismo radio.

La traslación que lleva [math] a [math] lleva [math] a [math] y [math] a [math], sobre la circunscrita a [math] ([math]). [math] es el punto medio del arco [math], y por paralelismo es el punto medio del arco [math], luego, es la bisectriz de [math]. Entonces la traslación que lleva [math] a [math] lleva [math] a [math]. Por lo tanto [math] es un paralelogramo.
[math]

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Gianni De Rico

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Re: Bisectrices paralelas.

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 23 Nov, 2018 5:53 pm

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Sea $D$ el pie de la altura desde $B$, y sean $\angle ABC=2\beta$ y $\angle ABD=\gamma$, luego $\angle CHA=180°-2\beta \Rightarrow \angle QHA=90°-\beta$ y $\angle HAD=2\beta -\gamma \Rightarrow \angle AHD=90°-2\beta +\gamma \Rightarrow \angle DHQ=\beta -\gamma$, pero $\angle PBH=\beta -\gamma$, por lo tanto $BP\parallel HQ$
Por ser $BP$ bisectriz tenemos que $P$ es el punto medio del arco $AC$ que no contiene a $B\Rightarrow AP=PC$, análogamente $AQ=QC$, luego $PQ$ es mediatriz de $AC\Rightarrow PQ\perp AC$, y como $H$ es el ortocentro de $\triangle ABC$ resulta $BH\perp AC$, por lo tanto $BH\parallel PQ$
Entonces $BPQH$ es un paralelogramo
[math]

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