Problema 9-"Ortocentro de un triángulo"-Svetoslav Savchev

elcolectivero
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Problema 9-"Ortocentro de un triángulo"-Svetoslav Savchev

Mensaje sin leer por elcolectivero » Mié 21 May, 2014 2:07 pm

Desde el punto medio de cada lado de un cuadrilátero cíclico se trazan perpendiculares al lado opuesto. Demostrar que estas cuatro perpendiculares se cortan en el ortocentro del triángulo cuyos vértices son los puntos medios de las diagonales y su punto de intersección

Sugerencia.
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Demostrar que una simetría central adecuada lleva cada una de esas perpendiculares en la mediatriz del lado opesto. Para cada diagonal, la perpendicular a ella trazada desde el punto medio de la otra diagonal también pasa por ese punto.

ricarlos
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Re: Problema 9-"Ortocentro de un triángulo"-Svetoslav Savche

Mensaje sin leer por ricarlos » Sab 24 May, 2014 11:44 pm

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Sean [math] el cuadrilatero en cuestion, [math] y [math] los puntos medios de las diagonales [math] y [math], respectivamente, y [math] la interseccion de las mismas.

Proyectamos los vertices del cuadrilatero sobre sus mismas diagonales, tenemos asi el [math]. El cuadrilatero [math] es ciclico entonces su angulo exterior [math] es igual a [math] que a su vez, por el ciclico [math] vemos que es igual a [math] que entonces por alt. int. es [math]. Analogamente llegamos a que [math], [math] y [math]. Se concluye asi que [math] es semejante a [math].

Llamemos [math] al punto medio de [math], luego como [math] es el circuncentro de [math] sera [math], si trazamos la altura por [math] de este isosceles esta sera la mediatriz de [math] y ademas como [math] si la prolongamos cortara a [math] de modo perpendicular, es decir que esta mediatriz es una de los trazados requeridos en el enunciado. Procediendo de igual forma en los otros lados tenemos las otras rectas que van del punto medio de un lado al lado opuesto en forma perpendicular y como son mediatrices del pequeño cuadrilatero concurriran en su circuncentro que llamamos [math]. Queda demostrada asi la concurrencia.

Sabemos que [math] y [math] proyectan sobre los puntos medios de las diagonales del [math] que llamaremos respectivamente [math] y [math]. Luego [math] y [math] son 2 de las alturas del triangulo [math]. Tambien sabemos que por ser [math] y [math] cuerdas del pequeño cuadrilatero son [math] y [math] perpendiculares a estas (mediatrices). Entonces [math] y [math] son 2 de los segmentos de alturas del [math] que concurren en el ortocentro [math] punto donde tambien como vimos concurren las 4 mediatrices.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Gianni De Rico

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Re: Problema 9-"Ortocentro de un triángulo"-Svetoslav Savchev

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 25 Jun, 2018 11:41 am

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Sea $ABCD$ el cuadrilátero y sean $X,Y,P,Q,M$ los puntos medios de $AC,BD,AB,CD,XY$ respectivamente, $O$ el circuncentro de $ABCD$ y $H$ el simétrico de $O$ por $M$
Como $OH$ y $XY$ se cortan en su punto medio tenemos que $OXHY$ es un paralelogramo$\Rightarrow XH\parallel OY\wedge YH\parallel OX$, pero como $O$ es el circuncentro y $X,Y$ son los puntos medios de $AC$ y $BD$ resulta $OX\perp AC\parallel XZ\wedge OY\perp BD\parallel YZ\Rightarrow XH\perp YZ\wedge YH\perp XZ$ por lo que $H$ es el ortocentro de $\triangle XYZ$
Por ser puntos medios de $AB$ y $BD$ resulta que $YP$ es base media de $\triangle ABD$, análogamente, $XQ$ es base media de $\triangle ACD$. Luego $XQ\parallel AD\parallel YP$ y $XQ=\frac{1}{2}AD=YP$ por lo que $XPYQ$ es un paralelogramo y $M$ es el punto medio de $PQ$
Entonces la reflexión por $M$ lleva $O$ a $H$ y los puntos medios de los lados a los puntos medios de los lados opuestos, entonces $OQ$ y $PH$ son paralelas, luego $PH\perp CD$ pues $OQ$ es mediatriz de $CD$
Por lo tanto las perpendiculares a cada lado desde el punto medio desde el lado opuesto de $ABCD$ concurren en $H$, que es el ortocentro de $\triangle XYZ$
[math]

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