"Copiado" del P3-OMM2014

ricarlos
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"Copiado" del P3-OMM2014

Mensaje sin leer por ricarlos » Vie 14 Nov, 2014 2:46 pm

Sea [math] un trapecio isosceles con [math].
[math] y [math] intersectan en [math]. Por [math] y [math] dos rectas paralelas a [math] y [math], respectivamente, intersectan en [math].
[math] y [math] intersectan en [math]. Sea [math] un punto sobre [math], en el orden (Q,C,R,S),de modo que [math] sea punto medio de [math] Demostrar que [math], [math] y [math] concurren.
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Basicamente es el P3 de la Olimpiada Mexicana de Matematicas 2014
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Gianni De Rico

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Re: "Copiado" del P3-OMM2014

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 26 Sep, 2017 1:50 pm

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Sea [math].
Por ángulos entre paralelas, [math], y también, [math].Luego, [math] y [math], como además [math], resulta [math] y [math] es un trapecio isósceles. Por lo tanto [math] y [math] se intersectan en la mediatriz de [math]. Como [math], entonces [math] pertenece a la mediatriz de [math].
Sea [math] el punto medio de [math]. Como [math] y [math], entonces [math] es un paralelogramo, y por lo tanto [math]. Como además [math], entonces [math] es un paralelogramo. Luego, [math], [math], [math] son colineales.
Sea [math] el reflejo de [math] por [math]. Como [math], entonces [math], y por lo tanto [math] es un paralelogramo. Sea [math] tal que [math] es un paralelogramo, entonces [math], [math], [math] son colineales y [math] es un paralelogramo. Luego [math], entonces la traslación que lleva [math] a [math] y [math] a [math] lleva [math] a [math], y la paralela a la mediatriz de [math] a la mediatriz de [math], es decir que lleva [math] a la mediatriz de [math]. Pero como también lleva [math] a [math], entonces [math] está en la mediatriz de [math]. Por lo tanto [math] y [math] se intersectan sobre la mediatriz de [math], pero como [math] y [math] se intersectan sobre la mediatriz de [math]. Resulta que [math], [math] y [math] concurren.
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[math]

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