Puntos concíclicos.

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Vladislao

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Puntos concíclicos.

Mensaje sin leer por Vladislao » Dom 13 Mar, 2011 12:13 pm

Sigue la retroalimentación:

Considere el triángulo [math], [math] su ortocentro, y [math] su circuncentro. Si [math], [math], [math] y [math] son concíclicos:

a) Hallar [math].
b) Demostrar que el radio del circuncírculo del [math] es igual al radio del circuncírculo del cuadrilátero [math]
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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amcandio

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Re: Puntos concíclicos.

Mensaje sin leer por amcandio » Dom 13 Mar, 2011 11:32 pm

a)
Spoiler: mostrar
Llamamos B' a la interseccion de BH con AC, y A' a la interseccion de AH con BC.
[math]
[math]
[math](Ya que [math])
De donde [math]
Ahora [math]

Luego
[math]
b)
Spoiler: mostrar
Sea [math] la reflexion de [math] por la recta [math], se puede ver facilmente que [math]pertenece a la circunferencia circunscripta de [math]. Ahora como el triangulo [math] esta inscripto en la misma circunferencia que [math], tienen el mismo radio de circunferecencia, y este tambien es igual al del triangulo [math] por ser [math].Como [math] es ciclico resulta que [math] y [math] tiene el mismo radio de circunferencia.
"Prillo es el Lanata de la trigonometria"

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Vladislao

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Re: Puntos concíclicos.

Mensaje sin leer por Vladislao » Lun 14 Mar, 2011 2:57 pm

Hola, dos cosas:

1)
amcandio escribió: [...]se puede ver facilmente que [math] pertenece a la circunferencia circunscripta de [math] [...]
Aunque sea 'fácil' verlo, sería bueno que lo pongas. (Quizá para algunos no sea tan sencillo).

2) El problema corresponde a una mezcla que hice entre uno del Selectivo Ibero 2010 y uno de la APMO 2007.

Saludos.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Gianni De Rico

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Re: Puntos concíclicos.

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 19 Jul, 2018 8:29 pm

a)
Spoiler: mostrar
Sea $\angle BCA=\alpha$, luego $2\alpha =\angle AOB=\angle AHB=180°-\alpha$ ya que si marcamos $D$ y $E$ como los pies de las alturas desde $A$ y $B$ tenemos $HD\perp CD$ y $HE\perp CE$ por lo que $HDCE$ es cíclico. Luego $3\alpha =180°\Rightarrow \alpha =60°$
b)
Spoiler: mostrar
Si $R$ es el circunradio de $\triangle AOB$, por el Teorema del Seno en $\triangle AOB$ tenemos $2R=\frac{AB}{\text{sen }\angle AOB}=\frac{AB}{\text{sen }120°}=\frac{AB}{\text{sen }60°}$
Si $R'$ es el circunradio de $\triangle ABC$, por el Teorema del Seno en $\triangle ABC$ tenemos $2R'=\frac{AB}{\text{sen }\angle BCA}=\frac{AB}{\text{sen }60°}$
Juntando los dos resultados tenemos $2R=2R'\Rightarrow R=R'$
[math]

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