Dos cuadrilateros.

ricarlos
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Dos cuadrilateros.

Mensaje sin leer por ricarlos » Dom 26 Abr, 2015 9:58 pm

Sea [math] , [math], un cuadrilatero ciclico cuyo circuncentro es [math].
[math].
Desde [math] una recta perpendicular a [math] corta a [math] en [math] y una recta paralela a [math] por [math] corta a [math] en [math]. Ubicamos un punto [math] en el plano de modo que [math] sea un paralelogramo. Probar que [math].
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Joacoini

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Re: Dos cuadrilateros.

Mensaje sin leer por Joacoini » Lun 23 Mar, 2020 12:10 am

Spoiler: mostrar
$F\widehat XC=90-C\widehat BO=90-(90-C\widehat AB)=C\widehat AB=C\widehat DB=C\widehat DF$
$XDFC$ es cíclico.

Los triángulos $XDC$ y $XBA$ son semejantes.

$X\widehat CF=180-X\widehat DF=180-C\widehat DB-X\widehat DC=180-CAB-CBA=ACB=F\widehat KC$
$FKC$ es isósceles con $FK=FC$ y como $FJ=OB=OC$ y $JB=FO$ si probamos que $K\widehat FJ=F\widehat CO$ estamos ya que por criterio LAL los triángulos $KFJ$ y $FCO$ serian congruentes y por lo tanto $JK=OF=JB$

$K\widehat FC=180-2F\widehat KC=180-2A\widehat CB$
$C\widehat FJ=90-C\widehat FX=90-C\widehat DX=90-X\widehat BA=90-C\widehat BA$
$K\widehat FJ=K\widehat FC+C\widehat FJ=270-2A\widehat CB-C\widehat BA=90+C\widehat AB-A\widehat CB$

$F\widehat CO=F\widehat CB-O\widehat CB=180-X\widehat CF-(90-C\widehat AB)=C\widehat AB+X\widehat DF-90=C\widehat AB+X\widehat DC+C\widehat DF-90=2C\widehat AB+C\widehat BA-90=90+C\widehat AB-A\widehat CB$

Por lo que $K\widehat FJ=F\widehat CO$ y estamos.
NO HAY ANÁLISIS.

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