Selectivo IMO 2015 - Problema 2

Avatar de Usuario
Vladislao

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado FOFO Pascua 2017 - Jurado
Mensajes: 786
Registrado: Mar 28 Dic, 2010 3:26 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Córdoba

Selectivo IMO 2015 - Problema 2

Mensaje sin leer por Vladislao » Lun 11 May, 2015 6:52 pm

Sea [math] cuatro puntos de una circunferencia, en ese orden, con [math]. Las rectas [math] y [math] se cortan en [math]. Se sabe que los puntos [math] y los puntos medios de los segmentos [math] y [math] pertenecen a una misma circunferencia. Determinar todos los posibles valores del ángulo [math].
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

Avatar de Usuario
Martín Vacas Vignolo
Mensajes: 399
Registrado: Mié 15 Dic, 2010 6:57 pm
Nivel: Exolímpico

Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 2

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Lun 11 May, 2015 9:50 pm

Spoiler: mostrar
Sean [math] y [math] los puntos medios de [math] y [math]. Sea [math] el centro de la circunferencia a la que pertenecen [math], [math], [math] y [math].

Como [math] es cíclico, [math], como [math] es cíclico, [math]. Además, como [math] es base media del triángulo [math], [math] es paralelo a [math], luego [math].

El ángulo [math] mide el doble de [math] por ser el ángulo central, luego [math], es decir que [math] es cíclico.

Si [math], tenemos que [math] es diámetro y luego el ángulo pedido es [math], veamos que siempre pasa esto. Si [math], el cuadrilátero [math] "existe" y al ser cíclico [math], pero además [math] porque [math] es punto medio de la base de un isósceles ([math]), luego [math] y eso nunca puede pasar. (Para ver eso podemos marcar un punto [math] de manera que [math] sea diámetro y tendríamos metido un ángulo recto "dentro" de otro).

Estamos usando el hecho de que [math] cuando decimos que el cuadrilátero [math] es cíclico, con las letras en ese orden.
[math]

Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado
Mensajes: 891
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico

Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 2

Mensaje sin leer por Matías V5 » Lun 11 May, 2015 10:37 pm

Spoiler: mostrar
Llamo [math] y [math] a los puntos medios de [math] y [math] respectivamente. Sea [math] el punto donde se cortan [math] y [math].
Como [math] es base media en el triángulo [math], sabemos que [math]. Pero entonces en [math] sabemos que [math], y [math] es el punto medio de [math]. Por lo tanto [math] es la base media del triángulo y entonces [math] es punto medio de [math].
Por otra parte, usando que [math] y [math] son cíclicos tenemos que [math], mientras que el hecho de que [math] y [math] sean paralelas implica que [math]. Por lo tanto es [math].
De todo esto se deduce que [math] es bisectriz y mediana en el triángulo [math]. Por lo tanto el triángulo es isósceles, con [math]. Pero por definición de [math] también es [math]. Entonces [math] es el centro de la circunferencia que pasa por [math], [math], [math] y [math]. De este modo, [math] resulta ser un diámetro de dicha circunferencia, y por lo tanto [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

Avatar de Usuario
Martín Vacas Vignolo
Mensajes: 399
Registrado: Mié 15 Dic, 2010 6:57 pm
Nivel: Exolímpico

Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 2

Mensaje sin leer por Martín Vacas Vignolo » Lun 11 May, 2015 10:43 pm

Otra forma de terminar
Spoiler: mostrar
una vez que probé que [math], tenemos que el ángulo [math] también es igual a ellos porque [math] es exterior al triángulo [math], luego el triángulo [math] es isósceles con [math], pero como [math] tenemos que [math] es el centro de la circunferencia que pasa por [math], y luego también por [math] y [math] es diámetro.
[math]

Avatar de Usuario
Emerson Soriano

OFO - Mención OFO - Medalla de Oro OFO - Medalla de Plata OFO - Medalla de Bronce
Mensajes: 790
Registrado: Mié 23 Jul, 2014 10:39 am
Medallas: 4

Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 2

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mar 12 May, 2015 3:03 am

Spoiler: mostrar
Llamemos [math] y [math] a los puntos medios de los segmentos [math] y [math], respectivamente. Trazamos las diagonales del cuadrilátero cíclico [math], luego, en el triángulo [math], [math] es base media, por lo tanto, [math] es paralelo a [math], en consecuencia [math]. Observemos que en el cuadrilátero cíclico [math], [math], por lo tanto, en el cuadrilátero cíclico [math], [math], en consecuencia, [math]. Fijémonos que en el triángulo [math], la mediana [math] es la mitad de [math], y eso solo ocurre si [math], y esto obliga a que [math].

Avatar de Usuario
Fran5

OFO - Medalla de Oro OFO - Jurado FOFO Pascua 2017 - Jurado FOFO 7 años - Jurado FOFO 8 años - Jurado
Mensajes: 827
Registrado: Mié 21 Mar, 2012 1:57 pm
Medallas: 7
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Santa Fe

Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 2

Mensaje sin leer por Fran5 » Mar 12 May, 2015 8:22 pm

Es otra forma de decir la misma cosa
Spoiler: mostrar
Llamemos convenientemente [math] al punto medio de [math] y [math] al punto medio de [math]

La recta [math] interseca nuevamente a la circunferencia de [math] en [math]

[math] (la anteúltima igualdad por ser paralelas)

Luego, [math] es un paralelogramo (pues sus diagonales se bisecan), de modo que es un rectángulo, de modo que [math]
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 778
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Selectivo IMO 2015 - Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Jul, 2018 11:47 pm

Spoiler: mostrar
Sean $E$ y $F$ los puntos medios de $AC$ y $CK$, por Thales $EF\parallel AB$, luego $B\widehat AE=B\widehat AC=B\widehat DC=B\widehat DF=B\widehat EF=E\widehat BA$, entonces $AE=EB$ y por la propiedad de la mediana de un triángulo rectángulo, $A\widehat BC=90°\Rightarrow A\widehat DC=90°$
[math]

Responder