Selectivo de Ibero 2015 Problema 4

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Matías V5

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Selectivo de Ibero 2015 Problema 4

Mensaje sin leer por Matías V5 » Vie 21 Ago, 2015 2:19 pm

Un cuadrado [math] tiene sus vértices sobre una circunferencia de centro [math]. Sea [math] el punto medio del lado [math]. La recta [math] corta nuevamente a la circunferencia en [math]. Las rectas [math] y [math] se cortan en [math]. Demostrar que [math].
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jujumas

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Re: Selectivo de Ibero 2015 Problema 4

Mensaje sin leer por jujumas » Vie 21 Ago, 2015 2:57 pm

Solución Nivel 1 friendly con semejanza, angulitos y teorema de bisectriz :D
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Como [math], [math], [math], [math] y [math] están en una misma circunferencia, tenemos por arco capaz que [math] ya que [math] es un triángulo rectángulo isósceles, y que [math] por la misma razón. Luego, como [math] y como [math] por opuestos por el vértice, tenemos que los triángulos [math] y [math] son semejantes.

Como [math] es punto medio de [math] y [math], tenemos que [math], y como [math] y [math] eran semejantes, podemos llevar esta relación al triángulo [math]. Luego, [math].

Como habíamos dicho que [math], tenemos en el triángulo [math] que [math], por lo que podemos concluir que [math] es la bisectriz de [math].

Luego, por teorema de bisectriz tenemos que [math] (ya que [math]), por lo que concluímos que [math].

Ahora simplemente podemos decir que si [math], entonces [math]. Y como [math], tenemos que [math]. Por último, vemos que nos quedó que [math] y [math], por lo que [math] y la demostración está completa.
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Fran5

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Re: Selectivo de Ibero 2015 Problema 4

Mensaje sin leer por Fran5 » Vie 21 Ago, 2015 4:39 pm

Esa solución va dedicada a Prish
Spoiler: mostrar
Prolonguemos [math] hasta que corte a [math] en [math]. Es claro que [math] es el punto medio de [math] y que [math] es isósceles.
Luego, queremos ver que [math] es el baricentro de [math], con lo cual [math]

Observamos que [math] es tangente a la circunferencia, luego si [math] intersecase a [math] en su punto medio (llamémosle [math]), se tendría que [math] tiene la misma potencia respecto a la circunferencia de [math], que respecto al punto [math]. (dicho más simple, [math]).

Pero [math], luego queremos ver que los triángulos [math] y [math] son semejantes.

Esto último no es difícil pues comparten el ángulo [math] y además [math]

Y estamos
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Emerson Soriano

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Re: Selectivo de Ibero 2015 Problema 4

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Vie 21 Ago, 2015 6:47 pm

Spoiler: mostrar
Es claro que [math], pero [math], por eso [math]. Como [math] es punto medio de [math], entonces [math]. Por lo tanto, [math], lo cual implica que [math].

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Matías V5

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Re: Selectivo de Ibero 2015 Problema 4

Mensaje sin leer por Matías V5 » Lun 24 Ago, 2015 7:05 pm

@Emerson Soriano:
Dos cosas sobre tu post anterior. Primero, es mentira que [math]. Esa es sólo una aproximación de [math], el valor exacto del ángulo en grados es algo así como [math]. Segundo, incluso suponiendo que eso esté bien no entiendo qué es lo que hacés al final (evidentemente estás usando alguna relación trigonométrica de esos ángulos, pero no lo veo).
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Matías V5

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Re: Selectivo de Ibero 2015 Problema 4

Mensaje sin leer por Matías V5 » Lun 24 Ago, 2015 7:13 pm

Subo mi solución.
Spoiler: mostrar
Digamos que el lado del cuadrado [math] mide [math]. Entonces [math], y [math].
Por potencia de un punto tenemos que [math], es decir [math], de donde [math].
Ahora, como [math] y [math] son paralelas, por el teorema de Thales tenemos que [math]. Ahora bien, [math], [math], y [math]. Reemplazando todo esto queda [math], es decir [math]. Entonces [math] y [math]. En particular se cumple [math], y estamos. [math]
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lucasdeamorin

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Re: Selectivo de Ibero 2015 Problema 4

Mensaje sin leer por lucasdeamorin » Vie 28 Ago, 2015 5:53 pm

Este post va dedicado a mi querido prillin:
Spoiler: mostrar
Proyectando por F desde la recta AD a la circunferencia(lo podemos hacer porque F esta sobre la misma) obtenemos:

[math]

[math]

[math]
2  
Si X tiende a [math], [math] se seca.

Nowhereman

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Re: Selectivo de Ibero 2015 Problema 4

Mensaje sin leer por Nowhereman » Mié 12 Jul, 2017 9:10 am

No es por menospreciar al problema pero hasta lo nombraron H al punto que después resulto ser el baricentro que por casualidad generalmente se denota con H :roll:

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Violeta

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Re: Selectivo de Ibero 2015 Problema 4

Mensaje sin leer por Violeta » Mié 12 Jul, 2017 1:29 pm

Nowhereman escribió:No es por menospreciar al problema pero hasta lo nombraron H al punto que después resulto ser el baricentro que por casualidad generalmente se denota con H :roll:
No he tratado el problema... pero aca nombramos el baricentro con [math] y el otrocentro con [math]. Que le ponen ustedes al ortocentro?
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de Ibero 2015 Problema 4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 12 Jul, 2017 5:42 pm

Yo siempre lo conocí como [math] al baricentro/gravicentro, y con [math] al ortocentro.
1  
[math]

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