Demostrar ciclicidad.

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Vladislao

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Demostrar ciclicidad.

Mensaje sin leer por Vladislao » Sab 26 Mar, 2011 3:13 pm

Sea [math] un triángulo acutángulo. Se marcan los puntos [math], [math] y [math] externos al [math], de modo tal que los triángulos [math], [math] y [math] sean equiláteros.
Sean [math] e [math] los puntos medios de los segmentos [math] y [math], respectivamente. Sea [math] la intersección de los segmentos [math] y [math]. Sea [math] la proyección ortogonal del punto [math] sobre el segmento [math]. Demostrar que el cuadrilátero [math] es cíclico.
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Caro - V3

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Re: Demostrar ciclicidad.

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Sab 26 Mar, 2011 4:18 pm

Definí bien los puntos [math], [math] y [math] porque quedan muchas posibilidades :? (algunos casos no andan)
Problema ciclico.png

Si querías el caso clásico de los equiláteros sobre los lados podrías decir "Se marca [math] en el semiplano opuesto a [math] respecto de [math] tal que [math] es equilátero"...
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

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Vladislao

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Re: Demostrar ciclicidad.

Mensaje sin leer por Vladislao » Sab 26 Mar, 2011 6:59 pm

Sí, al 'caso clásico' me refería. (El problema es una Olimpiada de Italia, así que lo traduje como se pudo...)
Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Gianni De Rico

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Re: Demostrar ciclicidad.

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 19 Jul, 2018 8:52 pm

Spoiler: mostrar
Sean $G$ el centro de $\triangle BCE$, $H$ el centro de $\triangle ABD$ y $L$ la segunda intersección de los circuncírculos de $\triangle ABD$ ($\Gamma _1$) y $\triangle BCE$ ($\Gamma _2$)
Como $I$ es punto medio de $CE$ y $G$ centro de $\triangle BCE$ tenemos $\frac{BI}{BG}=\frac{3}{2}$. Análogamente, $\frac{BJ}{BH}=\frac{3}{2}$ y por Thales $IJ\parallel GH$

Ahora $\angle ALC=360°-\angle ALB-\angle BLC=360°-(180°-60°)-(180°-60°)=120°=180°-60°=180°-\angle AFC$ y $ALCF$ es cíclico. Luego, $\angle FLA=\angle FCA=60°=180°-120°=180°-\angle ALB\Rightarrow F,L,B$ son colineales. Por ser eje radical de $\Gamma _1$ y $\Gamma _2$ tenemos $BL\perp GH$. Por lo tanto $BF\perp IJ\Rightarrow \angle BXI=90°=\angle BKI\Rightarrow BXIK$ es cíclico
[math]

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