Sea [math]ABCD un paralelogramo de lados [math]AB, [math]BC, [math]CD y [math]DA. Consideramos [math]P en el lado [math]AD tal que [math]BP es bisectriz de [math]\angle B. Si [math]BP=CP=6 y [math]PD=5, calcular la longitud de los lados del paralelogramo [math]ABCD.
Llamamos [math]x=\angle ABP=\angle CBP. Como [math]BP=CP entonces [math]\angle BCP=x.
Como [math]\angle ABC=2x y [math]\angle BAP son conjugados internos entre paralelas, [math]\angle BAP=180-2x, y por lo tanto [math]\angle APB=x, luego [math]ABP es isósceles con [math]AB=AP.
Además, por semejanza tenemos [math]\frac{BP}{BC}=\frac{AB}{BP}, o sea [math]\frac{6}{BC}=\frac{AB}{6}, de donde [math]AB\cdot BC=36, pero [math]BC=AD=AP+PD=AB+PD=AB+5, luego [math]AB\cdot \left (AB+5\right )=36, de donde [math]AB=4 y luego [math]BC=9.
Tenemos que $B\widehat PA=P\widehat BC$ por alternos internos entre paralelas, $A\widehat BP=P\widehat BC$ por ser $BP$ bisectriz de $A\widehat BC$ y $B\widehat CP=P\widehat BC$ (1) por ser $\triangle BPC$ isósceles en $P$. De las dos primeras igualdades sale que $\triangle PAB$ es isósceles en $A\Rightarrow AB=AP$.
Sea $Q$ en $BC$ tal que $DQ\parallel BP$, entonces $BQDP$ es un paralelogramo y por lo tanto $BQ=PD=5$, $DQ=BP=6$ y $Q\widehat DP=P\widehat BC$, de esto y (1) sale que $PQCD$ es cíclico y además es un trapecio, por lo tanto es un trapecio isósceles y $PQ=CD$, pero como $BQ=PD$ y $BC=AD$, se tiene que $QC=AP=AB=CD=PQ$.
Como $PQCD$ es cíclico, por Ptolomeo resulta $PQ\times CD+PD\times CQ=PC\times DQ\Rightarrow CD^2+5CD=36$. Resolviendo la cuadrática se tiene que $CD=4\Rightarrow AP=4\Rightarrow AD=4+5=9$.
Por lo tanto los lados del paralelogramo son $4$ y $9$.
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Digamos que $ABP = \alpha$ y sacamos un par de conclusiones: $PBC= \alpha$ por ser bisectriz. $BCP = \alpha$ por ser isósceles.
Como $BAP = 180° - 2\alpha$ por propiedad de un paralelogramo, entonces por suma de ángulos interiores $APB = \alpha$ y por lo tanto AP = AB por ser isósceles.
