P3 - Nivel 1 - Fase Nacional 2015

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Emerson Soriano

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P3 - Nivel 1 - Fase Nacional 2015

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Lun 19 Oct, 2015 3:42 pm

Sea [math] un paralelogram, [math] un punto del segmento [math] y [math] un punto del segmento [math], tales que [math]. Si se cumple que [math], calcule la medida del ángulo [math].

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DiegoLedesma
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Re: P3 - Nivel 1 - Fase Nacional 2015

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Dom 06 May, 2018 10:20 pm

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Sean $B\hat{A}D=\alpha$, $A\hat{D}B=\beta$ y $B\hat{D}C=\epsilon$ $\Rightarrow$ $\alpha+\beta+\epsilon=180°$
Por alternos internos entre paralelas: $A\hat{B}D=\epsilon$, $C\hat{B}D=\beta=B\hat{E}C$ ($\bigtriangleup$ $BCE$ isósceles) $\Rightarrow$ $B\hat{C}E=180°-2\beta=180°-\beta-2\epsilon=\alpha-\epsilon$ (pues en un paralelogramo los ángulos opuestos son congruentes, los ángulos consecutivos son suplementarios y además $\bigtriangleup$ $CDE$ isósceles ($CE=DE$))
De la 1° igualdad, se llega a que $\beta=2\epsilon$, y de la 2°: $\alpha+3\epsilon=180°$
Además, por ser ángulo exterior de $\bigtriangleup$ $BCE$: $C\hat{E}D=\alpha+\epsilon$
Por $E$ trazamos $GH$ ($G$ en $AB$ y $H$ en $CD$), tal que $CEH=\frac{\alpha}{2}$ $\Rightarrow$ tenemos que $DE=DH$ (pues $D\hat{E}H=D\hat{H}E=\frac{\alpha}{2}+\epsilon$)
Además, $\bigtriangleup$ $DEH$ $\sim$ $\bigtriangleup$ $BEG$. Por ser $DH$ y $GB$ paralelas entre sí, y teniéndose además que $DB=DC$ $\Rightarrow$ $D\hat{C}B=D\hat{B}C$, llegándose a que $\alpha=2\epsilon$. Luego, reemplazando en la igualdad ($\alpha+3\epsilon=180°$), tendremos que $\frac{5}{2}\alpha=180°$
$\therefore$ $\alpha=B\hat{A}D=72°$

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