Nacional 2015 N3 P3

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Caro - V3

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Nacional 2015 N3 P3

Mensaje sin leer por Caro - V3 » Dom 29 Nov, 2015 6:23 pm

Consideremos los puntos [math], [math] y [math] en el plano coordenado. Sean [math] y [math] los puntos medios de [math] y [math] respectivamente. Rotamos el triángulo [math] con centro en [math] en sentido de las agujas del reloj hasta obtener el triángulo [math] y, para cada posición rotada, sea [math] la intersección de las rectas [math] y [math]. Hallar el máximo valor posible de la coordenada [math] de [math].
Guía de [math]: sirve para escribir ecuaciones como [math]

sacder
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Re: Nacional 2015 N3 P3

Mensaje sin leer por sacder » Mié 09 Dic, 2015 9:35 pm

cuanto es lo que se gira el triangulo OEF ? un cuadrante?
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3,14

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Re: Nacional 2015 N3 P3

Mensaje sin leer por 3,14 » Mié 09 Dic, 2015 9:39 pm

Se puede girar cuanto uno quiera. La idea es calcular, para TODOS los giros posibles, cuál es el máximo valor de y.
[math]

MNegri
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Re: Nacional 2015 N3 P3

Mensaje sin leer por MNegri » Jue 10 Dic, 2015 8:11 pm

Esta solución es un asco, es elemental, pero utiliza conceptos de calculo diferencial. No se si se deja usar en la olimpiada. En todo caso, al menos está la respuesta.
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La respuesta es [math]

Imagen

Recordemos que los puntos [math] del plano que yacen sobre una circunferencia centrado en [math] de radio 1 se pueden describir mediante [math], con [math]

Convengamos en llamar [math] y [math]. Entonces armamos las dos funciones lineales cuya gráfica representa a las rectas AE' y BF'.

[math]

[math]

Además, como E' y F' yacen en la circunferencia de radio 1 y centro O y estan separados rigidamente por [math] radianes, tenemos que:

Si [math] entonces [math]
Si [math] entonces [math]

Entonces:

[math]

[math]

Si se encuentran en un punto (x,y) entonces planteamos la ecuación:

[math]

Es decir, llamando [math] tenemos que suponiendo que [math] y [math] (estos dos casos son absurdos, compruebenlo):

[math]

Luego,[math]

[math]

El que sabe un poco de calculo diferencial, puede calcular la derivada de esta función fea y encontrar máximo.

Veamos, recordemos que a es una función de [math]. Derivamos [math].

La derivada es (hay que usar regla de la cadena, ojo) [math].

Hay dos formas de que esta expresión sea 0.

1) [math]

2) [math]

Osea,
1) [math]. El problema con [math] es que no existe tal [math], ya que [math]. Asi que en verdad el unico valor aquí es [math].

2) [math], osea [math]


Despues de tanto pedalear metemos los valores de 1) y 2) en [math]. Los valores son [math] y [math].

Por lo tanto el YMáx = [math].

Coni

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Re: Nacional 2015 N3 P3

Mensaje sin leer por Coni » Jue 10 Dic, 2015 11:09 pm

nac2015-P3-N3.png
Si en la respuesta anterior se multiplican miembro a miembro las ecuaciones de las rectas se obtiene y(y-2) = -x(x+2), y completando cuadrados, se llega a que el lugar geométrico de los puntos intersección de las dos rectas es un arco de la circunferencia (x+1)^2+(y-1)^2 =2 (con algunas condiciones para x e y).
Hice el gráfico con Geogebra del lugar geométrico y obtuve la figura anterior. ¿Alguien sabe cómo se deducen las condiciones para x e y, es decir, cómo se determinan las condiciones para los extremos de ese arco, sin usar derivadas?
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Última edición por Coni el Vie 11 Dic, 2015 10:03 am, editado 1 vez en total.

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Vladislao

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Re: Nacional 2015 N3 P3

Mensaje sin leer por Vladislao » Vie 11 Dic, 2015 12:27 am

Una idea:
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Sea [math] el punto medio de [math]. Consideramos la circunferencia [math] que pasa por [math], [math] y [math]. Claramente [math] es su centro. Notemos también (completando angulitos) que [math] para todas las rotaciones posibles. En particular, resulta que [math] para todos los posibles [math]. O sea, resulta que [math] cae en la circunferencia [math] que teníamos. Ahora bien si llamamos [math] a la circunferencia de centro [math] y radio [math], que contiene a [math], [math], y trivialmente a todos los posibles [math] y [math], podemos notar que todos los posibles los [math] están en las rectas [math], que a su vez son rectas que pasan por [math] y por algún punto de [math]. De todas las rectas que pasan por [math] y que intersectan a [math], buscamos la que, al intersectar con [math] produce la mayor coordenada [math]. Ahora, un argumento de tramposética puede servir para ver que la recta que pase por [math] e intersecte a [math] que produzca el [math] buscado debe ser tangente a [math].
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Sea [math] Para todo entero positivo [math] se cumple que [math] es un número primo.

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2015 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 11 Nov, 2017 4:18 pm

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Sea [math] la proyección ortogonal de [math] sobre el eje [math], sea [math] la coordenada [math] de [math]. Entonces [math], por lo tanto, para maximizar [math] tenemos que maximizar [math]

Ahora, sea [math] la intersección entre la perpendicular a [math] por [math] y la recta [math]. Tenemos que [math], y por Thales [math]. Como [math] son colineales y [math] son colineales, los triángulos [math] y [math] son homotéticos de centro [math]. Por lo tanto, para maximizar [math] queremos maximizar [math]. Como [math] tiene longitud fija, queremos maximizar la razón [math]. Sea [math], como el triángulo [math] es rectángulo en [math], entonces [math], por lo tanto, lo que queremos maximizar es el ángulo [math]

Notemos que, como [math] son colineales y [math] son colineales, entonces [math] son colineales. Se sigue que [math]. Sea [math] la intersección de la perpendicular a [math] por [math] y la recta [math], entonces [math] es la distancia de [math] a la recta [math], además [math]. Como [math] es rectángulo en [math], para maximizar [math] tenemos que maximizar [math], pero [math]. Como [math] tiene longitud fija, entonces lo que queremos maximizar es [math]

Sea [math] la circunferencia de centro [math] y radio [math], entonces [math]
Supongamos que [math], como [math] es la menor distancia desde [math] a la recta [math], entonces [math], absurdo, ya que [math]. El absurdo provino de suponer que [math], entonces [math], la igualdad se obtiene cuando la recta [math] es tangente a [math], y por lo tanto [math]
Como [math] se maximiza al maximizarse [math], [math] al maximizarse [math], [math] al maximizarse [math], [math] al maximizarse [math], y [math] cuando [math] es tangente a [math], entonces [math] se maximiza cuando [math] es tangente a [math]

Para calcular el valor de [math], notemos que [math] y [math], entonces [math] es medio equilátero y por lo tanto [math]. Luego, [math] es medio equilátero y [math]. Pero [math] también es medio equilátero y [math], entonces [math]

Notemos que [math] se define rotando [math] en sentido horario con centro [math] al punto [math], que [math] se define rotando [math] con centro [math] al punto [math] y que por lo tanto [math] se define rotando [math] con centro [math] al punto [math], se sigue que la recta [math] se define rotando [math] con centro [math] a la recta [math], entonces [math]. Tenemos que [math] y [math], por lo que [math] es un paralelogramo, en particular, es un rectángulo, como además [math] entonces [math] es un cuadrado y por lo tanto [math]

Por Thales, [math]

Entonces [math]

Se sigue que [math]

Como [math] es medio equilátero, entonces [math]

Por lo tanto [math]

Finalmente, el máximo valor posible de la coordenada [math] de [math] es [math]
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[math]

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