Rioplatense 2015 - N3 P1

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Prillo

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Rioplatense 2015 - N3 P1

Mensaje sin leer por Prillo » Dom 13 Dic, 2015 11:24 am

Sea [math] un triángulo y [math] un punto sobre el lado [math]. Sea [math] la circunferencia con centro en [math] y radio [math] que corta al lado [math] en [math], tal que [math] está entre [math] y [math]. Análogamente, sea [math] la circunferencia con centro en [math] y radio [math] que corta al lado [math] en [math], tal que [math] esté entre [math] y [math]. La recta [math] corta a [math] y [math] en [math] e [math], diferentes de [math], respectivamente. Llamamos [math] al punto de corte de las rectas [math] y [math].
Demostrar que [math].

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3,14

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Re: Rioplatense 2015 - N3 P1

Mensaje sin leer por 3,14 » Lun 14 Dic, 2015 2:46 pm

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Sea [math] y [math].Veamos que la condición del enunciado implica:
[math].
Por otro lado, como los triángulos [math] y [math] son isósceles, se calcula que:
[math]
[math]
Entonces:
[math]
Es decir, la condición del enunciado equivale a que [math], o lo que es lo mismo, demostrar que el cuadrilátero [math] es cíclico, lo que también puede reducirse a demostrar que [math].
Para demostrar esto último trazamos los segmentos [math] y [math]. Observemos que los triángulos [math] y [math] son ambos isósceles, y además sus ángulos iguales son congruentes porque [math] y [math] son opuestos por el vértice. Por lo tanto, todos sus ángulos son iguales, y [math]. Pero además se puede ver por ángulos inscriptos y centrales en una circunferencia que [math], y además [math], que es justamente lo que queríamos demostrar.
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[math]

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Gianni De Rico

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Re: Rioplatense 2015 - N3 P1

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 05 Nov, 2018 12:07 pm

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Sean $F,G$ puntos sobre $S_1$ y $S_2$ respectivamente, tales que ambos están fuera del triángulo $ABC$. Luego $\angle PFD=\frac{1}{2}\angle PBD=\frac{1}{2}\angle CBA$ y $\angle EGP=\frac{1}{2}\angle ECP=\frac{1}{2}\angle ACB$
Si $X$ está en el interior de $\triangle ABC$ entonces $\angle YXT=\angle PXT=180°-\angle DXP=\angle PFD=\frac{1}{2}\angle CBA$, y si $X$ está fuera de $\triangle ABC$ entonces $\angle YXT=\angle PXD=\angle PFD=\frac{1}{2}\angle CBA$. Análogamente, sin importar la posición de $Y$ tenemos que $\angle XYT=\angle EGP=\frac{1}{2}\angle ACB$. Por lo tanto $\angle DTE=\angle YXT+\angle XYT=\frac{1}{2}(\angle CBA+\angle ACB)$, luego, $\angle BAC+2\angle DTE=\angle BAC+\angle CBA+\angle ACB=180°$
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[math]

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