Selectivo IMO - 2016 - Problema 2

jujumas

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Selectivo IMO - 2016 - Problema 2

Mensaje sin leer por jujumas » Jue 19 May, 2016 7:14 pm

Sea [math] un triángulo acutángulo con [math]. Las alturas [math] y [math] de este triángulo se intersecan en [math]. Sea [math] la circunferencia de centro [math] y radio [math] y sea [math] la circunferencia de centro [math] y radio [math]. La tangente a [math] trazada desde [math] que no pasa por [math], toca a [math] en [math]; la tangente a [math] trazada desde [math] que no pasa por [math], toca a [math] en [math].
Demostrar que los puntos [math], [math], [math] son colineales.

MatíasBergerman
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Re: Selectivo IMO - 2016 - Problema 2

Mensaje sin leer por MatíasBergerman » Jue 19 May, 2016 9:41 pm

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[math] porque son radios.
[math] es perpendicular a [math] y [math] es perpendicular a [math].
Como los opuestos suman [math], [math] es un cuadrilátero cíclico.
[math] y [math] son congruentes al compartir dos lados y un ángulo de [math], entonces [math] y [math] es la bisectriz de [math].
Como [math] es isósceles, la bisectriz es la mediatriz y [math] corta a [math] en [math] perpendicularmente.
Como [math], [math] es paralela a [math].
Definamos [math] y [math].
Como [math] está en la mediatriz de antes, [math] también es isósceles con [math] y [math]
Entonces [math] porque recordemos que [math], y [math].
Como [math] es un cuadrilátero cíclico ya que sus ángulos en los vértices opuestos [math] y [math] son de [math], entonces [math] por arco capaz.
Al ser un cuadrilátero cíclico, [math], [math] y [math].
Definamos [math].
Como [math], [math] es un cuadrilátero cíclico y [math], entonces necesariamente [math] por lo que [math] es otro cuadrilátero cíclico al ser iguales [math] y [math].
Como es cíclico, por arco capaz [math].
Como [math] y [math] son congruentes al compartir dos lados (el que es el mismo para ambos y un radio) y el ángulo de 90, entonces todos los ángulos son iguales y en particular [math].
Ahora, como [math] es paralela a [math] y [math], entonces [math], [math] y [math] son colineales.
Última edición por MatíasBergerman el Jue 19 May, 2016 9:58 pm, editado 1 vez en total.

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Fran5

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Re: Selectivo IMO - 2016 - Problema 2

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 19 May, 2016 9:47 pm

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Sea [math] el reflejo de [math] por el punto [math]

Si observamos un par de triangulos, se tiene que [math]

Luego [math] y [math] son rotohomoteticos.

Con lo cual sus circunferencias se cortan en la intersección de los segmentos [math] y [math], que es el punto [math]
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jujumas

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Re: Selectivo IMO - 2016 - Problema 2

Mensaje sin leer por jujumas » Jue 19 May, 2016 9:55 pm

Esta se me ocurrió después de la prueba, pero es bien simple
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Es facil ver por tangencias que [math] y [math] son romboides. Luego, [math] y [math] son los reflejos de [math] por [math] y [math] respectivamente. Luego, la homotecia con centro [math] y razón [math] manda a [math] al pie de la perpendicular a [math] por [math] que llamaremos [math], a [math] al punto medio de [math] que llamaremos [math], y a [math] al pie de la perpendicular por [math] a [math] que llamaremos [math]. Es fácil ver que [math] y [math] son cíclicos. Por mediana de un triángulo rectángulo, paralelas y cíclicos tenemos entonces que [math]. Luego, como probamos colinealidad para los puntos homotéticos, tenemos terminado el problema.

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FabrizioFelén
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Re: Selectivo IMO - 2016 - Problema 2

Mensaje sin leer por FabrizioFelén » Sab 21 May, 2016 1:58 am

Ya que [math] es ciclico [math] [math] [math] [math] y sea [math] [math] [math] [math] [math] [math] [math] [math] [math] [math] [math] ademas es facil notar que [math] y [math] son puntos simetricos respecto a [math] [math] [math] y [math] [math] [math] [math] como [math] y [math] es bisectriz de [math] y ademas [math] [math] es facil ver que [math] es ciclico. Consideremos la inversion [math] con centro [math] y radio [math] [math] por [math] obtenemos que [math] como [math] es ciclico al aplicarle la inversion [math] nos debe salir una linea ya que la circunferencia [math] pasa por el centro de la inversion [math] [math] [math] por lo tanto [math], [math] y [math] son colineales.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo IMO - 2016 - Problema 2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 07 Jul, 2018 11:14 pm

♫♪ An-gu-litos ♫♪
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Como $BE\perp AE$ y $AD\perp BD$ tenemos que $AEDB$ es cíclico y $C\widehat DE=B\widehat AC$. Además $EC=PC$ por ser tangentes a $\omega _1$ desde $C$ y $HE=HP$ por ser radios de $\omega _1$, luego $EP\perp CH\perp AB\Rightarrow EP\parallel AB\Rightarrow C\widehat PE=P\widehat EC=B\widehat AC=C\widehat DE$ y $CDPE$ es cíclico, luego, $E\widehat PD=180°-B\widehat CA$.
Como $BE=BQ$ por ser radios de $\omega _2$ y $CE=CQ$ por ser tangentes a $\omega _2$ desde $C$, resulta $E\widehat CQ=2B\widehat CA$. Pero tenemos que $EC=PC=QC$ por lo que $C$ es el circuncentro de $\triangle EPQ\Rightarrow E\widehat PQ=180°-B\widehat CA$.
Entonces $E\widehat PD=E\widehat PQ$ y $D,P,Q$ son colineales.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
[math]

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