Problema 3 APMO 2016

Avatar de Usuario
Matías V5

Colaborador OFO - Jurado FOFO 6 años - Jurado
Mensajes: 863
Registrado: Dom 17 Oct, 2010 4:44 pm
Medallas: 6
Nivel: Exolímpico

Problema 3 APMO 2016

Mensaje sin leer por Matías V5 » Lun 30 May, 2016 9:42 am

Sean [math] y [math] dos semirrectas distintas que no están contenidas en la misma recta, y sea [math] una circunferencia de centro [math] que es tangente a la semirrecta [math] en [math] y a la semirrecta [math] en [math]. Sea [math] un punto del segmento [math]. La recta por [math] paralela a [math] corta a la recta [math] en [math]. Sea [math] el punto de intersección de las rectas [math] y [math], y sea [math] la intersección de la recta [math] y la recta por [math] paralela a [math]. Demostrar que la recta [math] es tangente a [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

Avatar de Usuario
Fran5

OFO - Medalla de Oro OFO - Jurado FOFO Pascua 2017 - Jurado
Mensajes: 809
Registrado: Mié 21 Mar, 2012 1:57 pm
Medallas: 5
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Santa Fe

Re: Problema 3 APMO 2016

Mensaje sin leer por Fran5 » Mié 01 Jun, 2016 11:43 pm

Hoy hable con el negro y concluimos que la solución mas linda era
Spoiler: mostrar
Brianchon
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 472
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario
Contactar:

Re: Problema 3 APMO 2016

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 23 Dic, 2017 11:01 pm

Fran5 escribió:
Mié 01 Jun, 2016 11:43 pm
Hoy hable con el negro y concluimos que la solución mas linda era
Spoiler: mostrar
Brianchon
No se si se referían a esta, pero dejo una que sale así
Spoiler: mostrar
Sea $Q$ la intersección de la recta $OP$ con la recta $AC$. Por Thales tenemos que $\triangle PAQ$ es isósceles en $A$. Sea $I$ el incentro de $\triangle PAQ$ y $\Gamma$ su incírculo. Como dos circunferencias tangentes a las mismas dos rectas son homotéticas con centro en el punto de intersección de dichas rectas, tenemos que $\omega$ y $\Gamma$ son homotéticas con centro $A$, por lo tanto, $O$ e $I$ son homotéticos con centro $A$. Entonces $O=AI\cap PQ$, como $\triangle PAQ$ es isósceles en $A$, entonces $AI$ es mediatriz, por lo tanto, $O$ es el punto medio de $PQ$.

Sean $E'$, $F'$, $M'$, $N'$ los reflejos de $E$, $F$, $M$, $N$ por $PQ$, respectivamente. Tenemos que $E'$ y $F'$ están en $\omega$, que $PM'$ y $QN'$ son tangentes a $\omega$, y que $MM'N'N$ es un trapecio isósceles, de donde sus diagonales $MN'$ y $M'N$ concurren sobre la mediatriz de $MM'$ y $NN'$, pero por reflexión esta mediatriz es $PQ$. Se sigue por Brianchon que $MPM'N'QN$ tiene una circunferencia inscrita, que es la tangente a $MP$, $PM'$, $NQ$, $QN'$, pero esta es $\omega$. Por lo tanto, $MN$ es tangente a $\omega$.
[math]

Responder