P2 - Olimpiada Matemática Balcánica 2016

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Emerson Soriano

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P2 - Olimpiada Matemática Balcánica 2016

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Jue 23 Jun, 2016 1:14 pm

Sea [math] un cuadrilátero cíclico, con [math]. Las diagonales se cortan en el punto [math], y las rectas [math] y [math] se cortan en el punto [math]. Sean [math] y [math] las proyecciones del punto [math] hacia los lados [math] y [math], respectivamente, y sean [math], [math] y [math] los puntos medios de los lados [math], [math] y [math], respectivamente. Demostrar que el segundo punto de corte de los circuncírculos de los triángulos [math] y [math] está sobre el segmento [math].

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Gianni De Rico

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Re: P2 - Olimpiada Matemática Balcánica 2016

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 06 Jul, 2018 6:59 pm

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Sea $G$ el punto medio de $CD$. Claramente el circuncírculo $\Gamma$ de $\triangle MKT$ es la circunferencia de los nueve puntos de $\triangle EFD$. Sea $P$ el punto medio de $ED$, luego, $P\in \Gamma$. Por bases medias $PMTD$ es un paralelogramo y $P\widehat MT=P\widehat DT=A\widehat DB=A\widehat CB=A\widehat CE=F\widehat CE$. Como $G,T,P$ son los puntos medios de los segmentos $DE,DF,DC$, entonces $\triangle GTP$ y $\triangle EFC$ son homotéticos de centro $D$, luego $F\widehat CE=T\widehat GP$. Por lo tanto $G\in \Gamma$. Análogamente se demuestra para el circuncírculo de $MLS$. Entonces ambos pasan por el punto medio $G$ de $CD$.
[math]

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