P1 Selectivo Ibero - Perú 2014

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Emerson Soriano

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P1 Selectivo Ibero - Perú 2014

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mar 28 Jun, 2016 5:46 pm

Las circunferencias [math] y [math] se intersectan en los puntos distintos [math] y [math]. Las rectas tangentes a [math] que pasa por [math] y [math] se intersectan en el punto [math]. Sea [math] un punto sobre [math] que está fuera de [math]. La recta [math] intersecta nuevamente a [math] en [math], la recta [math] intersecta nuevamente a [math] en [math] y la recta [math] intersecta nuevamente a [math] en [math]. Prueba que la recta [math] pasa por el punto medio del segmento [math].

jujumas

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Re: P1 Selectivo Ibero - Perú 2014

Mensaje sin leer por jujumas » Mié 29 Jun, 2016 6:36 pm

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Simedianas

ricarlos
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Re: P1 Selectivo Ibero - Perú 2014

Mensaje sin leer por ricarlos » Jue 30 Jun, 2016 10:24 am

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Sean [math] y [math]. Desde el punto de vista de C1 es facil ver que [math] y mirando angulos inscritos en C2 vemos que [math] con lo cual sale que [math] es ciclico.

Observamos que [math] por ser el primero angulo exterior al ciclico [math]. Tambien [math] entonces [math] es ciclico. Si [math]
intersecta a [math] en O, como AB es el eje radical de (NQBA) y C2 se tiene por potencia de O que [math], (1).

Por otro lado si [math] sabemos que [math] y entonces [math] es un haz armonico por lo tanto [math], (2).
Con los resultados (1) y (2) y el reciproco del lema limon http://www.omaforos.com.ar/viewtopic.ph ... 632#p14632 obtenemos que [math] es punto medio de [math].
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Emerson Soriano

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Re: P1 Selectivo Ibero - Perú 2014

Mensaje sin leer por Emerson Soriano » Mié 17 May, 2017 10:20 pm

Tengo una solución un poco más elemental.
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Sea [math] el punto de corte de la recta [math] y [math]. Como el cuadrilátero [math] es cíclico, entonces [math]. Como el cuadrilátero [math] es cíclico, entonces [math] y [math]. Luego, el cuadrilátero [math] es cíclico, pues [math]. Sabiendo que [math] es cíclico, entonces [math] y [math]. Como [math], entonces el cuadrilátero [math] es cíclico, así, [math]. Considere que [math] es el punto medio de [math]. Como [math] es simediana del triángulo [math], entonces [math].

Sea [math] un punto de [math] tal que [math] es paralelo a [math], entonces [math].

Notemos que los triángulos [math] y [math] son semejantes. Luego, como [math], entonces los lados [math] y [math] son homólogos, y, por ende, los puntos [math] y [math] también son homólogos. De este modo, deducimos que [math] es punto medio de [math], y, como [math] es paralelo a [math], entonces [math] es punto medio de [math].

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