PROBLEMA DE GEOMETRIA (BIS)

machupichu
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PROBLEMA DE GEOMETRIA (BIS)

Mensaje sin leer por machupichu » Vie 08 Jul, 2016 5:21 pm

En un triángulo ABC de área 36 se trazaron: el segmento DE que une los puntos medios de los lados de AB y AC, y dos rectas paralelas entre sí por D y E que cortan al lado BC en F y G respectivamente, de modo que el área del triángulo EGC resultó igual a 5. Calcular el área del triángulo DBF.
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DiegoLedesma
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Re: PROBLEMA DE GEOMETRIA (BIS)

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Dom 22 Abr, 2018 10:41 am

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Al ser $DE$ el segmento que une los puntos medios de $AB$ y $AC$, se tiene que $\triangle$ $ADE$ $\sim$ $\triangle$ $ABC$ $\Rightarrow$ $DE//BC$. Además, $AB=2AD$ y $AC=2AE$.
El área de $\triangle$ $ABC$ puede expresarse como $\frac{2AD.2AE}{2}.sen(B\hat{A}C)=36$ $\Rightarrow$ $\frac{AD.AE}{2}.sen(B\hat{A}C)=9$, siendo esta última el área de $\triangle$ $ADE$.
Por ser $DF$ y $EG$ paralelas entre sí, se tiene que $DEGF$ es un paralelogramo ($DE=FG$ y $DF=EG$).
Pero al ser $\triangle$ $ABC$ $\sim$ $\triangle$ $ADE$ y $AB=2AD$, $AC=2AE$, se tiene que sus respectivas alturas están en relación 2 a 1, y que las alturas de $\triangle$ $ADE$ y $DEFG$ son iguales. Por esto, tendremos que $Área$ $DEGF=18$, y al ser $Área$ $\triangle$ $EGC=5$ $\Rightarrow$ $Área$ $\triangle$ $DBF=36-(9.3+5)=4$.
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