Iberoamericana 2016 P5

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Iberoamericana 2016 P5

Mensaje sin leer por ésta » Mié 28 Sep, 2016 5:27 pm

Las circunferencias [math] y [math] se cortan en dos puntos distintos [math] y [math]. La tangente común a [math] y [math] más cercana a [math] toca a [math] en [math] y a [math] en [math]. Sean [math] el pie de la perpendicular desde [math] sobre [math], y [math] el pie de la perpendicular desde [math] sobre [math]. Si [math] y [math] son los puntos simétricos de [math] respecto de las rectas [math] y [math], respectivamente, pruebe que los puntos [math], [math] y [math] son colineales.
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Fran5

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Re: Iberoamericana 2016 P5

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 29 Sep, 2016 11:33 am

No está completo (pero la idea sí)
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[math] es mediana de [math], y no es dificil ver que [math], con lo cual [math] es cíclico con [math]. Luego [math] es simediana.

Queremos ver entonces que [math] también es simediana de [math], pero como [math] y [math] son semejantes, queremos ver que [math] es mediana de [math] y [math] es su simediana.

Si [math] es el ortocentro de [math] tenemos que [math] es cíclico con [math]

Luego [math] y [math] son cíclicos.

Sólo queda hacer unos angulitos para comprobar que [math] es simediana de [math] y el problema sigue.
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Violeta

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Re: Iberoamericana 2016 P5

Mensaje sin leer por Violeta » Jue 13 Jul, 2017 11:52 pm

Fran5 escribió:No está completo (pero la idea sí)
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[math] es mediana de [math], y no es dificil ver que [math], con lo cual [math] es cíclico con [math]. Luego [math] es simediana.

Queremos ver entonces que [math] también es simediana de [math], pero como [math] y [math] son semejantes, queremos ver que [math] es mediana de [math] y [math] es su simediana.

Si [math] es el ortocentro de [math] tenemos que [math] es cíclico con [math]

Luego [math] y [math] son cíclicos.

Sólo queda hacer unos angulitos para comprobar que [math] es simediana de [math] y el problema sigue.
La mia es, en esencia, la misma a la tuya, pero toma una ruta media diferente para probar que
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[math] es mediana de [math].
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Vemos que [math] y sigue que [math] es ciclico, de donde [math] y similarmente [math]. Entonces sigue que [math] es simediana de [math] (por definicion de simediana, ya que [math] es trivialmente la mediana de [math]). Ahora, se puede probar que [math] es mediana de [math], un lema que pruebo aqui: https://omaforos.com.ar/viewtopic.php?f ... 349#p17349

Ahora, digamos que [math] y [math] se intersecan en [math]. [math] y [math], de donde, [math]. Pero ahora bien: [math]. Entonces, [math] es ciclico y sigue que [math] y [math] es ciclico, pero como [math] es cilcio (pues [math]), sigue que [math] es ciclico.

Ahora, marquemos otro punto [math] que sea la interseccion de las circunferencias tangentes a [math] que pasan por [math] y [math]. Luego, si [math] es la interseccion de [math] y [math], sigue que [math] y [math] es mediana de [math], de donde [math] con colineales.

Ahora, bien, ya que tenemos que [math] son colineales, que [math] es el punto de interseccion de las circunferencias tangentes a [math] que pasan por [math] y [math] y como [math] es ciclico: [math] y similarmente se prueba que [math]. Como [math], [math] es el reflejo de [math] con respecto a [math], de donde [math] y [math] son colineales.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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