Uno interesante y tranquilo

tcbpg
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Una funcion en el plano

Mensaje sin leer por tcbpg »

Este lo encontre en una lista de problemas faciles de Putnam.

Sea [math] una función que depende de [math] en el plano. Se sabe que si [math] son puntos que forman un cuadrado en el plano, entonces [math]. Decidir si [math] es [math] en todo el plano.

Saludos.

jujumas

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Uno interesante y tranquilo

Mensaje sin leer por jujumas »

No sé si esto debería ir en Geometría, porque tiene también Combinatoria y Álgebra.

Encontrar todas las una funciones [math] con puntos en el plano euclideano como dominio y números reales como codominio tal que para todos los puntos [math], [math], [math] y [math] del plano tales que [math] es un cuadrado se cumpla que [math].

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3,14

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Re: Uno interesante y tranquilo

Mensaje sin leer por 3,14 »

Spoiler: mostrar
Sea [math] un punto en el plano, y [math] un cuadrado de centro [math]. Sean [math] los puntos medios de los lados [math]. Entonces, por enunciado, y notando que [math], [math], [math] y [math] son cuadrados:
[math]
[math]
[math]
[math]
Sumando todas las igualdades:
[math]
[math]
Entonces, [math] es idénticamente cero.
1  
[math]

jujumas

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Re: Uno interesante y tranquilo

Mensaje sin leer por jujumas »

Por si alguno quiere la versión general:

Dado un entero positivo [math] mayor a [math] y puntos en el plano distintos [math], [math], [math] [math] tales que estos puntos cumplan que el polígono que forma es regular, [math]. Determinar para distintos [math] los posibles valores de [math].

En el problema original [math], pero propongo los casos [math] y [math] (aunque se puede generalizar para muchos más).
Última edición por jujumas el Mar 15 Nov, 2016 11:09 pm, editado 4 veces en total.

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Violeta

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Re: Uno interesante y tranquilo

Mensaje sin leer por Violeta »

Otra similar:
Spoiler: mostrar
Si [math] es paralelo al eje de x, entonces [math]

Luego, consideramos otro cuadrado con lado [math] , tal que [math] sea paralelo al eje de x. Entonces, [math]

Pero consideramos [math] y [math]
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

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Re: Uno interesante y tranquilo

Mensaje sin leer por jujumas »

Violeta escribió:Si [math] es paralelo al eje de x, entonces [math]
No entiendo de donde sale esto...

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Violeta

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Re: Uno interesante y tranquilo

Mensaje sin leer por Violeta »

Jeje... Olvida mi solución; no sé por qué sustituí [math] de un punto, por [math] de un número.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

Juaco

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Re: Una funcion en el plano

Mensaje sin leer por Juaco »

Spoiler: mostrar
Sean $M,N,L,P$ los puntos medios de los lados $AB,BC,CD,DA$ respectivamente y $O$ el centro del cuadrado

Se forman entonces muchos cuadrados en los que tenemos lo siguiente:

$$\begin{align*}f(A) + f(B) + f(C) + f(D) & =0 \\ f(M) + f(N) + f(L) + f(P) & =0 \\ f(A) + f(M) + f(O) + f(P) & =0 \\ f(M) + f(B) + f(N) + f(O) & =0 \\ f(O) + f(N) + f(C) + f(L) & =0 \\ f(P) + f(O) + f(L) + f(D) & =0 \end{align*}$$

Sumando las últimas $4$

$f(A)$ + $f(M)$ + $f(O)$ + $f(P)$ +
$f(M)$ + $f(B)$ + $f(N)$ + $f(O)$ +
$f(O)$ + $f(N)$ + $f(C)$ + $f(L)$ +
$f(P)$ + $f(O)$ + $f(L)$ + $f(D)$ $= 0$

ordenando tenemos

$\underbrace{f(A) + f(B) + f(C) + f(D)}_{0} + \underbrace{f(M) + f(N) + f(L) + f(P)}_{0} + \underbrace{f(M) + f(N) + f(L) + f(P)}_{0} + 4 \cdot f(O)=0$

Entonces $f(O) = 0$ por lo que como $O$ puede ser cualquier punto del plano tenemos que $f(Z) = 0$ para todo punto $Z$ en el plano
También está la generalización que fue uno de los problemas del selectivo IMO en Rumania de $1996$


Bueno ahora revisando veo que la misma solución está más arriba, solo que no entiendo por qué cuando la subí yo no podía ver lo demás, me aparecía como que en este problema aún nadie había subido una solución, sino no subía lo miamo
$91$ es el menor número primo que puede escribirse como producto de $2$ números primos menores a el $(91 = 13 × 7) $

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