Sea [math]ABCD un cuadrilátero con [math]AC=20 y [math]AD=16. Sea [math]P en el segmento [math]CD tal que los triángulos [math]ABP y [math]ACD son congruentes. Si el área del triangulo [math]APD es [math]28, calcular el valor del área del triangulo [math]BCP. (Dos triángulos son congruentes si sus lados son respectivamente iguales.)
ACD y ABP son 2 triangulos congruentes rotados con centro A.
Por lo tanto como los angulos DAP y CAB son iguales los isosceles APD y ABC son semejantes y la razon de sus areas son proporcionales a la razon
de semejanza al cuadrado es decir que (ABC)/(APD)= (20/16)*(20/16) de donde tenemos que (ABC)=43.75.
Llamemos Q a la interseccion de AC y BP, entonces
(ACD)=(APD)+(APQ)+(CPQ)
(ABP)=(ABC)-(BCQ)+(APQ)
Podemos igualar (por ser ACD y ABP congruentes)
(APD)+(APQ)+(CPQ)=(ABC)-(BCQ)+(APQ)
28 + (APQ) + (CPQ) = 43.75 - (BCQ) + (APQ)
(CPQ)+(BCQ)=43.75-28 = 15.75 =(BCP)
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
Denotamos al área del polígono $\mathcal{P}$ como $[\mathcal{P}]$.
Como $ABP\equiv ACD$ se tiene $\hat{DAP}+\hat{PAC}=\hat{DAC}=\hat{PAB}=\hat{PAC}+\hat{CAB}$, con lo cual $\hat{DAP}=\hat{CAB}$. También se tiene $\hat{ABP}=\hat{ACD}= \hat{ACP}$, de modo que $ABCP$ es cíclico, lo que implica $\hat{ADP}= \hat{ADC}=\hat{APB}= \hat{ACB}$, de donde resulta $ADP\sim ABC$ por tener dos ángulos respectivamente congruentes. Luego $\dfrac{[ABC]}{[ADP]}= \left(\dfrac{AB}{AP}\right)^2=\left(\dfrac{20}{16}\right)^2= \left(\dfrac{5}{4}\right)^2=\dfrac{25}{16}\iff \dfrac{175}{4}=[ABC]$.
Es claro que $[ADC]=[APB]$. Como $[ADC]=[ADP]+[APC]=28+[APT]+[PTC]$ y $[APB]=[APT]+[ATB]=[APT]+\dfrac{175}{4}-[BTC]$, al sustituir se obtiene
\begin{align*}
[ADP]+[APC]&= [APT]+[ATB]\\
28+[APT]+[PTC]&= [APT]+\dfrac{175}{4}-[BTC]\\
[PTC]+[BTC]&=\frac{63}{4}\\
[BCP]&= \frac{63}{4}
\end{align*}
Como queríamos.
oráculo y magia negra