Selectivo de IMO 2017 P3

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Matías V5

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Selectivo de IMO 2017 P3

Mensaje sin leer por Matías V5 » Jue 04 May, 2017 8:31 pm

La circunferencia inscrita del triángulo [math] es tangente a [math] en los puntos [math] respectivamente. Sea [math] el incentro del triángulo [math]. Supongamos que la recta [math] corta a las rectas [math] en los puntos [math] respectivamente. Si la recta que pasa por el punto medio de [math] y por [math] corta a [math] en [math], demostrar que [math].
"La geometría es el arte de hacer razonamientos correctos a partir de figuras incorrectas." -- Henri Poincaré

ricarlos
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Re: Selectivo de IMO 2017 P3

Mensaje sin leer por ricarlos » Vie 05 May, 2017 2:09 pm

Spoiler: mostrar
Llamamos [math] y [math] a los angulos [math] y [math], respèctivamente, y recurrimos al "lema de Miguel" del cual se desprende que [math].
Luego como [math] tenemos que [math] estan en una circunferencia de diametro [math] que llamamos [math].
Por lo tanto [math],
entonces [math] que es igual a [math] ....... (1)
Con el mismo "lema de Miguel" sabemos que [math] luego [math] es ciclico y de alli que
[math] ....... (2)
Prolongamos [math] hasta cortar a [math] en [math], como [math] y [math] es diametro se tiene que [math] por lo tanto [math].
Tenemos que [math] (el angulo QDL hay que verlo como angulo exterior al ciclico CIDK')

Como [math] tenemos que M,L,Q y K es cuaterna armonica que vamos a escribir [math].

Llamamos [math] al punto medio de [math] y con Menelao en triangulo [math] y transversal [math] tenemos

[math], entonces [math].

Igualando las 2 ultimas [math], por Tales (en triangulo KLC) se tiene que [math].

Al ser paralelas [math], teniendo en cuenta (2) y [math], teniendo en cuenta (1).

Finalmente los triangulos [math] y [math] son semejantes, entonces [math].

De alli se desprende lo que nos piden.
imagen.png
Lema: https://www.omaforos.com.ar/viewtopic.p ... guel#p8907
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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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