Nacional 2009 N3 P3

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Gianni De Rico

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Nacional 2009 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 09 Jul, 2017 1:48 am

El trapecio isósceles [math] de bases [math] y [math] tiene una circunferencia [math] que es tangente a sus cuatro lados. Sea [math] el punto de tangencia de [math] con el lado [math], y [math] el segundo punto de intersección de [math] con [math]. Si se sabe que [math], calcular [math].
[math]

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2009 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 09 Jul, 2017 1:52 am

Estaría bueno si alguien encuentra una forma sin trigonometría, mientras tanto...
Spoiler: mostrar
Sean [math] el punto medio de [math], [math] el punto medio de [math], [math] el centro de [math] y [math] el opuesto diametral de [math]. Es claro que [math] y [math] son los puntos de tangencia de [math] con [math] y [math] respectivamente.

La potencia de [math] respecto de [math] es [math], entonces [math] y [math]

Por el Teorema del Coseno [math]

Trabajando queda [math]



Aplicando nuevamente el Teorema del Coseno [math]

Trabajando queda [math]


Entonces los ángulos de [math] son:
[math]
[math]
[math]



Como [math] está diametralmente opuesto a [math], entonces [math] y [math]. Entonces [math], y como [math], entonces
[math]. Por ser [math], entonces [math]

Entonces [math]. Por ser [math] el punto de tangencia de [math] con [math] se tiene [math], por ser [math] un trapecio, [math].
Como [math] por ser radios, [math] es bisectriz de [math]. Entonces [math]. Por lo tanto, [math].

Y [math]


Finalmente [math]
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
[math]

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Fran5

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Re: Nacional 2009 N3 P3

Mensaje sin leer por Fran5 » Jue 13 Jul, 2017 7:36 pm

Solo con semejanzas (y un cíclico)
Spoiler: mostrar
Sea [math] el punto de tangencia de [math] con [math].

Observemos que los triángulos [math] y [math] son similares pues tienen el ángulo [math] igual y además [math].

Luego [math], es decir [math], con lo cual [math].

Si [math] es el punto medio de [math], tenemos que [math], con lo cual [math].

Ahora, los segmentos [math] y [math] son paralelos (por simetría del trapecio), de modod que [math].

También tenemos que [math].
De esto se deduce que [math], con lo cual los triángulos [math] y [math] son semejantes

Luego [math], es decir [math]

Ahora, sea [math] la intersección de [math] con [math]. Notemos que los triángulos [math] y [math] son semejantes, y dado que [math] tenemos que [math].

Por otro lado los triángulos [math] y [math] tambien son semejantes, con lo cual si [math] tenemos que [math] y [math]. Luego

[math]

[math]

Luego [math]
Comentario
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Si bien lo hice "solo con semejanzas" hay que tener en cuenta que tambien hubo que usar el angulo semiinscrito y marcar un nuevo punto [math] casi sacado de la galera
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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2009 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 14 Jul, 2017 9:06 am

Fran5 escribió:
Spoiler: mostrar
[math]
Por qué es así? No podría ser...
Spoiler: mostrar
[math], [math] y [math]
[math]

tuvie

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Re: Nacional 2009 N3 P3

Mensaje sin leer por tuvie » Vie 14 Jul, 2017 9:16 am

Gianni De Rico escribió:
Fran5 escribió:
Spoiler: mostrar
[math]
Por qué es así? No podría ser...
Spoiler: mostrar
[math], [math] y [math]
A Fran5 le falto decir que escalaba la figura, supuso sin perdida de generalidad esas medidas. La otra manera es ponerle un [math] multiplicando a esos segmentos, despues de todas formas se te terminan tachando.

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2009 N3 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 14 Jul, 2017 9:47 am

Ah, con razón, gracias
[math]

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