Selectivo Ibero 2017 Problema 3

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MateoCV

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Selectivo Ibero 2017 Problema 3

Mensaje sin leer por MateoCV »

Sea $\omega$ la circunferencia circunscrita de un triángulo acutángulo $ABC$. El punto $D$ pertenece al arco $BC$ de $\omega$ que no contiene al punto $A$. El punto $E$ está en el interior del triángulo $ABC$, no pertenece a la recta $AD$, y satisface $D\widehat{B}E=A\widehat{C}B$ y $D\widehat{C}E=A\widehat{B}C$.
Sea $F$ un punto de la recta $AD$ tal que las rectas $EF$ y $BC$ son paralelas, y sea $G$ un punto de $\omega$ distinto de $A$ tal que $AF=FG$. Demostrar que los puntos $D, E, F, G$ pertenecen a una circunferencia.

Nota. La circunferencia circunscrita de un triángulo es la que pasa por sus tres vértices
$2^{82589933}-1$ es primo
lucasdeamorin

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Re: Selectivo Ibero 2017 Problema 3

Mensaje sin leer por lucasdeamorin »

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3selibero2017.png
Sea [math] el circuncentro de [math]. Sean [math], [math], [math] e [math] las intersecciones de [math] con [math], [math], la paralela a [math] por [math] y la paralela a [math] por [math].

[math] y [math] estan en la mediatriz de [math], por lo que [math] es la bicectriz exterior de [math]. Como [math] esta en la mediatriz de [math] resulta que [math] es ciclico.

[math], por lo que [math] esta en la mediatriz de [math].
Por lo que [math] es perpendicular a [math] es perpendicular a [math].
[math] al ser [math]. Se sigue que [math] esta en la mediatriz de [math].

De manera similar se ve que [math] esta en la mediatriz de [math] por lo que [math] es el circuncentro de [math]. Luego:

[math]
[math]
[math]

[math]es ciclico[math] es ciclico.
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Si X tiende a [math], [math] se seca.
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Gianni De Rico

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Re: Selectivo Ibero 2017 Problema 3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico »

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Selectivo Ibero 2017 P3.png
Sean $B'$ el segundo punto de intersección de $BE$ con $\Gamma$, $C'$ el segundo punto de intersección de $CE$ con $\Gamma$, $O$ el centro de $\Gamma$.

Notemos que\begin{align*}\angle BEC & =180^\circ -\angle CBE-\angle ECB \\
& =180^\circ -(\angle DBE-\angle DBC)-(\angle ECD-\angle BCD) \\
& =180^\circ -\angle DBE-\angle ECD+\angle DBC+\angle BCD \\
& =180^\circ -\angle ACB-\angle CBA+\angle DAC+\angle BAD \\
& =\angle BAC+\angle BAC \\
& =2\angle BAC
\end{align*}y como $\angle EB'C=\angle BB'C=\angle BAC$, tenemos que $\angle B'CC'=\angle B'CE=\angle BAC=\angle BC'C$, por lo que $BC'\parallel CB'$, entonces $BCB'C'$ es un trapecio isósceles, por lo que $EO$ es bisectriz de $\angle C'EB$, luego$$\angle OEB=\dfrac{\angle C'EB}{2}=\dfrac{180^\circ -2\angle BAC}{2}=90^\circ -\angle BAC.$$Por otro lado, $\angle FEB=\angle CBE=\angle DBE-\angle DBC=\angle ACB-\angle DAC$, de donde\begin{align*}\angle OEF & =\angle OEB-\angle FEB \\
& =90^\circ -\angle BAC-(\angle ACB-\angle DAC) \\
& =90^\circ -\angle BAC-\angle ACB+\angle DAC \\
& =90^\circ -(\angle BAC-\angle DAC)-\angle ACB \\
& =90^\circ -\angle BAD-\angle ACB \\
& =90^\circ -\angle BCD-\angle ACB \\
& =90^\circ -\angle ACD \\
& =\angle ODA \\
& =\angle ODF
\end{align*}por lo que $E\in \odot DOF$.

Ahora, $\angle DFG=2\angle DAG=\angle DOG$, por lo que $G\in \odot DOF$.

Entonces $D,E,F,G\in \odot DOF$.
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♪♫ do re mi función lineal ♪♫
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