Un punto [math]A recorre la circunferencia de centro [math]O y radio [math]r. Sea [math]BC un segmento fijo del plano, exterior a la circunferencia. Demostrar que el lugar geométrico del baricentro del triángulo [math]ABC es una circunferencia de radio [math]\frac{r}{3} y cuyo centro es el baricentro del triángulo [math]OBC.
Nota. El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.
Sea [math]M el punto medio de [math]BC, [math]G_1 el baricentro de [math]\triangle OBC y [math]G_2 el de [math]\triangle ABC. Notemos que por la propiedad de las medianas [math]\frac{MG_1}{MO}=\frac{MG_2}{MA}=\frac{1}{3}, luego [math]\triangle MG_1G_2 es semejante a [math]\triangle MOA por compartir [math]A\widehat {M} O y entonces [math]G_1G_2=\frac{OA}{3}=\frac{r}{3}.
En caso de que [math]O, [math]A y [math]M fuesen colineales con [math]O entre [math]A y [math]M, [math]MG_1=\frac {1}{3} OM y [math]MG_2=\frac {1}{3} (OM+r) por lo tanto [math]G_1G_2=\frac{r}{3}. El caso en que [math]A está entre [math]O y [math]M es análogo. Como queríamos ver.■
Veamos que todo punto de la circunferencia de centro [math]G_1 es el baricentro de un [math]\triangle ABC para algún punto [math]A en la circunferencia de centro [math]O. Dado un punto [math]G_2, si [math]M, [math]G_2 y [math]O no están alineados, tomamos [math]A tal que [math]AO y [math]G_2G_1 son paralelas, notemos que [math]\triangle MG_1G_2 es semejante a [math]\triangle MOA por ser [math]A\widehat {O} M = G_2\widehat {G_1} M y [math]\frac{MG_1}{MO}=\frac{G_2G_1}{AO}=\frac{1}{3}. Entonces, [math]G_2 está sobre la mediana de [math]\triangle ABC y cumple la proporción [math]\frac{G_2M}{AM}=\frac{1}{3}, esto quiere decir que [math]G_2 es el baricentro de [math]\triangle ABC.
Si [math]M, [math]G_2 y [math]O están alineados y [math]G_2 está entre [math]O y [math]G_1, tomamos [math]A tal que [math]O entre [math]A y [math]G_1, vemos fácilmente que [math]\frac{MG_2}{MA}=\frac{MG_1 + \frac{r}{3}}{OA + r} =\frac{1}{3} y con la misma idea de antes, decimos que [math]G_2 es el baricentro de [math]\triangle ABC.
Si [math]M, [math]G_2 y [math]O están alineados y [math]G_2 está entre [math]M y [math]G_1, tomamos [math]A entre [math]O y [math]M y con una cuenta similar podemos ver que este [math]A nos sirve.
Última edición por Luli97 el Sab 05 Ago, 2017 11:34 am, editado 3 veces en total.
Sean $M$ el punto medio de $BO$, $N$ el punto medio de $AB$, $G$ el baricentro de $\triangle ABC$ y $G'$ el baricentro de $\triangle OBC$. Como $MN$ es base media de $\triangle AOB$, entonces $MN$ y $OA$ son homotéticos con centro $B$ y razón $2$, por lo tanto el lugar geométrico de $N$ es una circunferencia de centro $M$ y radio $r'=\frac{r}{2}$. Por ser $G$ baricentro de $\triangle ABC$ y $N$ punto medio de $AB$, $\frac{CG}{GN}=2$; análogamente, por ser $G'$ baricentro de $\triangle OBC$ y $M$ punto medio de $BO$, $\frac{CG'}{G'M}=2$. De donde sale que $G'G$ y $MN$ son homotéticos con centro $C$ y razón $\frac{2}{3}$, por lo tanto el lugar geométrico de $G$ es una circunferencia de centro $G'$ y radio $r''=\frac{2}{3}r'=\frac{2}{3}\frac{r}{2}=\frac{r}{3}$, como se quería demostrar.
La vuelta es exactamente al revés porque lo importante en las homotecias son las relaciones entre los segmentos.
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Última edición por Gianni De Rico el Vie 04 Ago, 2017 11:13 pm, editado 1 vez en total.
Una cosita tecnica (Lu), para probar que algo es lugar geometrico hay que probar la doble implicacion, por mas natural que parezca probar que GG' = r/3 no termina el problema, tambien hay que demostrar que todo punto G'' tal que G''G = r/3 es el baricentro de algun triangulo A'BC para cierto A' tal que A'O=r. Recien ahi la solucion estaria completa.
¿No querrás decir: [math]\triangle AMO y [math]\triangle G_1MG_2?
De todas maneras, no necesariamente implica que sean semejantes, en este caso ocurre porque [math]G_1G_2 es paralela a [math]AO.
Claro, pero lo que digo es que la manera en la que está expresado puede dejar a interpretación de que el hecho de que compartan un ángulo es suficiente para justificar semejanza.