Selectivo Ibero 2017 Problema 4

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Gianni De Rico

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Selectivo Ibero 2017 Problema 4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 04 Ago, 2017 7:36 pm

Un punto [math] recorre la circunferencia de centro [math] y radio [math]. Sea [math] un segmento fijo del plano, exterior a la circunferencia. Demostrar que el lugar geométrico del baricentro del triángulo [math] es una circunferencia de radio [math] y cuyo centro es el baricentro del triángulo [math].

Nota. El baricentro de un triángulo es el punto de intersección de sus medianas.
[math]

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Luli97

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Re: Selectivo Ibero 2017 Problema 4

Mensaje sin leer por Luli97 » Vie 04 Ago, 2017 9:38 pm

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Sea [math] el punto medio de [math], [math] el baricentro de [math] y [math] el de [math]. Notemos que por la propiedad de las medianas [math], luego [math] es semejante a [math] por compartir [math] y entonces [math].
En caso de que [math], [math] y [math] fuesen colineales con [math] entre [math] y [math], [math] y [math] por lo tanto [math]. El caso en que [math] está entre [math] y [math] es análogo. Como queríamos ver.■
Edit: agrego lo que comentó Mariano.
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Veamos que todo punto de la circunferencia de centro [math] es el baricentro de un [math] para algún punto [math] en la circunferencia de centro [math]. Dado un punto [math], si [math], [math] y [math] no están alineados, tomamos [math] tal que [math] y [math] son paralelas, notemos que [math] es semejante a [math] por ser [math] y [math]. Entonces, [math] está sobre la mediana de [math] y cumple la proporción [math], esto quiere decir que [math] es el baricentro de [math].
Si [math], [math] y [math] están alineados y [math] está entre [math] y [math], tomamos [math] tal que [math] entre [math] y [math], vemos fácilmente que [math] y con la misma idea de antes, decimos que [math] es el baricentro de [math].
Si [math], [math] y [math] están alineados y [math] está entre [math] y [math], tomamos [math] entre [math] y [math] y con una cuenta similar podemos ver que este [math] nos sirve.
Última edición por Luli97 el Sab 05 Ago, 2017 11:34 am, editado 3 veces en total.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo Ibero 2017 Problema 4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 04 Ago, 2017 9:51 pm

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Sean [math] el punto medio de [math], [math] el punto medio de [math], [math] el baricentro de [math] y [math] el baricentro de [math]. Como [math] es base media de [math], entonces [math] y [math] son homotéticos con centro [math] y razón [math], por lo tanto el lugar geométrico de [math] es una circunferencia de centro [math] y radio [math]. Por ser [math] baricentro de [math] y [math] punto medio de [math], [math]; análogamente, por ser [math] baricentro de [math] y [math] punto medio de [math], [math]. De donde sale que [math] y [math] son homotéticos con centro [math] y razón [math], por lo tanto el lugar geométrico de [math] es una circunferencia de centro [math] y radio [math], como se quería demostrar.

La vuelta es exactamente al revés porque lo importante en estas homotecias son las relaciones entre los segmentos.
Comentario:
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Otra forma de ver
[math] y [math] son homotéticos con centro [math] y razón [math]
y
[math] y [math] son homotéticos con centro [math] y razón [math]
es usando Thales, de donde sale que son paralelos y que mantienen la relación entre los segmentos.

La vuelta también es exactamente al revés porque lo que importa siguen siendo las relaciones entre los lados.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
Última edición por Gianni De Rico el Vie 04 Ago, 2017 11:13 pm, editado 1 vez en total.
1  
[math]

Mariano Juncal

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Re: Selectivo Ibero 2017 Problema 4

Mensaje sin leer por Mariano Juncal » Vie 04 Ago, 2017 10:31 pm

Una cosita tecnica (Lu), para probar que algo es lugar geometrico hay que probar la doble implicacion, por mas natural que parezca probar que GG' = r/3 no termina el problema, tambien hay que demostrar que todo punto G'' tal que G''G = r/3 es el baricentro de algun triangulo A'BC para cierto A' tal que A'O=r. Recien ahi la solucion estaria completa.
1  

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo Ibero 2017 Problema 4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 04 Ago, 2017 10:33 pm

Luli97 escribió:
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luego [math] es semejante a [math] por compartir [math]
Che, me parece que esto es falso. Al menos yo encontré un contraejemplo.
[math]

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Marco V
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Re: Selectivo Ibero 2017 Problema 4

Mensaje sin leer por Marco V » Sab 05 Ago, 2017 12:15 am

Luli97 escribió:
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[math] es semejante a [math] por compartir [math]
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¿No querrás decir: [math] y [math]?
De todas maneras, no necesariamente implica que sean semejantes, en este caso ocurre porque [math] es paralela a [math].

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo Ibero 2017 Problema 4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 05 Ago, 2017 12:37 am

Marco V escribió:
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De todas maneras, no necesariamente implica que sean semejantes, en este caso ocurre porque [math] es paralela a [math].
En realidad sí, ya que
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Luli97 escribió:[math]
y entonces tienen dos pares de lados proporcionales y un ángulo igual, al estar en el mismo orden, son semejantes.
No lo podría afirmar si, por ejemplo
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[math]
[math]

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Marco V
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Re: Selectivo Ibero 2017 Problema 4

Mensaje sin leer por Marco V » Sab 05 Ago, 2017 1:26 am

Gianni De Rico escribió:
Marco V escribió:
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De todas maneras, no necesariamente implica que sean semejantes, en este caso ocurre porque [math] es paralela a [math].
En realidad sí, ya que
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Luli97 escribió:[math]
y entonces tienen dos pares de lados proporcionales y un ángulo igual, al estar en el mismo orden, son semejantes.
No lo podría afirmar si, por ejemplo
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[math]
Spoiler: mostrar
Claro, pero lo que digo es que la manera en la que está expresado puede dejar a interpretación de que el hecho de que compartan un ángulo es suficiente para justificar semejanza.

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Luli97

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Re: Selectivo Ibero 2017 Problema 4

Mensaje sin leer por Luli97 » Sab 05 Ago, 2017 10:19 am

Gianni De Rico escribió:
Luli97 escribió:
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luego [math] es semejante a [math] por compartir [math]
Che, me parece que esto es falso. Al menos yo encontré un contraejemplo.
Fue un error de tipeo, gracias!

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