Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2017 P3

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UNREAD_POSTpor Violeta » Dom 06 Ago, 2017 2:55 pm

En el triángulo $ABC$, la altura por $B$ interseca a $AC$ en $E$ y la altura por $C$ interseca a $AB$ en $F$. El punto $T$ es tal que $AETF$ es un paralelogramo y $A$ y $T$ caen en semiplanos distintos respecto a la recta $EF$. El punto $D$ es tal que $ABDC$ es un paralelogramo y $A$ y $D$ caen en distintos semiplanos respecto a la recta $BC$.

Probar que $T$, $D$ y el ortocentro de $ABC$ son colineales.

NOTA: El ortocentro de un triángulo es el punto de concurrencia de sus alturas.
Para todo $k$, existen $k$ primos en sucesión aritmética.
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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2017 P3

UNREAD_POSTpor jujumas » Mié 09 Ago, 2017 12:05 am

Solución:
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Sea $H$ el ortocentro de $ABC$, sean $M$, $N$, $L$ los puntos medios de $BC$, $EF$ y $AH$, sea $O$ el circucentro de $ABC$ sea $P$ el reflejo de $H$ por $N$ y sea $Q$ el reflejo de $H$ por $M$.

Notemos que $P$ es ortocentro de $AFE$, ya que $FP$ es paralela a $EB$, que es perpendicular a $AE$, y $EP$ es perpendicular a $AF$. Además, $AEF$ y $ABC$ son semejantes, por lo que reflejando a $P$ por la bisectriz del ángulo $A$, esta cae en $AH$, y como $O$ y $H$ son conjugados isogonales, $A$, $P$ y $O$ son colineales, por lo que $AP$ es diámetro del circuncírculo de $ABC$.

Notemos además que por reflexión del ortocentro, $AQ$ es diámetro del circuncírculo de $ABC$. Luego, $A$, $P$ y $Q$ son colineales.

Una homotecia de centro $H$ y razón de un medio manda a la recta $APQ$ a la recta $LNM$, y una homotecia de centro $A$ y razón $2$ manda a la recta $LMN$ a la recta $HTD$, lo que demuestra lo pedido.
Última edición por jujumas el Sab 12 Ago, 2017 6:14 pm, editado 1 vez en total

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2017 P3

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mié 09 Ago, 2017 12:24 am

jujumas escribió:
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Sea $H$ el ortocentro de $ABC$, sean $L$, $M$, $N$ los puntos medios de $BC$, $EF$ y $AH$, sea $O$ el circucentro de $ABC$ sea $P$ el reflejo de $H$ por $N$

No leí toda la solución, pero
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Si $N$ es punto medio de $AH$, y después reflejás $H$ por $N$, ¿No te queda $P=A$?

Y entonces
jujumas escribió:$FP$ es paralela a $EB$
no es del todo correcto, ya que implicaría que $E$ pertenece a la recta $AB$, pero como $E\in AC$, entonces $E=A$ y el $\triangle ABC$ sería rectángulo, que es un caso particular.
$e^{i\pi}+1=0$
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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2017 P3

UNREAD_POSTpor jujumas » Sab 12 Ago, 2017 6:15 pm

Gianni De Rico escribió:
jujumas escribió:
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Sea $H$ el ortocentro de $ABC$, sean $L$, $M$, $N$ los puntos medios de $BC$, $EF$ y $AH$, sea $O$ el circucentro de $ABC$ sea $P$ el reflejo de $H$ por $N$

No leí toda la solución, pero
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Si $N$ es punto medio de $AH$, y después reflejás $H$ por $N$, ¿No te queda $P=A$?

Y entonces
jujumas escribió:$FP$ es paralela a $EB$
no es del todo correcto, ya que implicaría que $E$ pertenece a la recta $AB$, pero como $E\in AC$, entonces $E=A$ y el $\triangle ABC$ sería rectángulo, que es un caso particular.


Editado. Al principio definiendo los puntos se me mezclaron $L$, $N$ y $M$.

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2017 P3

UNREAD_POSTpor Fran5 » Dom 13 Ago, 2017 11:02 pm

Casi trivial el problema

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Basta ver que las rectas $TH$ y $DH$ son paralelas, donde $H$ es el ortocentro de $ABC$.

$TH$ es perpendicular a $EF$ porque $H$ tambien es el ortocentro de $EFT$

$DH$ es perpendicular a $EF$ pues $MN$ es base media de $AHD$ y $MN$ es perpendicular a $EF$ por esto.
($M$ es el punto medio de $BC$, $N$ es el punto medio de $AH$)

Luego $T,D,H$ son colineales
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