Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2017 P3

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Violeta

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Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2017 P3

Mensaje sin leer por Violeta » Dom 06 Ago, 2017 2:55 pm

En el triángulo [math], la altura por [math] interseca a [math] en [math] y la altura por [math] interseca a [math] en [math]. El punto [math] es tal que [math] es un paralelogramo y [math] y [math] caen en semiplanos distintos respecto a la recta [math]. El punto [math] es tal que [math] es un paralelogramo y [math] y [math] caen en distintos semiplanos respecto a la recta [math].

Probar que [math], [math] y el ortocentro de [math] son colineales.

NOTA: El ortocentro de un triángulo es el punto de concurrencia de sus alturas.
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

jujumas

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2017 P3

Mensaje sin leer por jujumas » Mié 09 Ago, 2017 12:05 am

Solución:
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Sea [math] el ortocentro de [math], sean [math], [math], [math] los puntos medios de [math], [math] y [math], sea [math] el circucentro de [math] sea [math] el reflejo de [math] por [math] y sea [math] el reflejo de [math] por [math].

Notemos que [math] es ortocentro de [math], ya que [math] es paralela a [math], que es perpendicular a [math], y [math] es perpendicular a [math]. Además, [math] y [math] son semejantes, por lo que reflejando a [math] por la bisectriz del ángulo [math], esta cae en [math], y como [math] y [math] son conjugados isogonales, [math], [math] y [math] son colineales, por lo que [math] es diámetro del circuncírculo de [math].

Notemos además que por reflexión del ortocentro, [math] es diámetro del circuncírculo de [math]. Luego, [math], [math] y [math] son colineales.

Una homotecia de centro [math] y razón de un medio manda a la recta [math] a la recta [math], y una homotecia de centro [math] y razón [math] manda a la recta [math] a la recta [math], lo que demuestra lo pedido.
Última edición por jujumas el Sab 12 Ago, 2017 6:14 pm, editado 1 vez en total.

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Gianni De Rico

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2017 P3

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 09 Ago, 2017 12:24 am

jujumas escribió:
Spoiler: mostrar
Sea [math] el ortocentro de [math], sean [math], [math], [math] los puntos medios de [math], [math] y [math], sea [math] el circucentro de [math] sea [math] el reflejo de [math] por [math]
No leí toda la solución, pero
Spoiler: mostrar
Si [math] es punto medio de [math], y después reflejás [math] por [math], ¿No te queda [math]?

Y entonces
jujumas escribió:[math] es paralela a [math]
no es del todo correcto, ya que implicaría que [math] pertenece a la recta [math], pero como [math], entonces [math] y el [math] sería rectángulo, que es un caso particular.
[math]

jujumas

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2017 P3

Mensaje sin leer por jujumas » Sab 12 Ago, 2017 6:15 pm

Gianni De Rico escribió:
jujumas escribió:
Spoiler: mostrar
Sea [math] el ortocentro de [math], sean [math], [math], [math] los puntos medios de [math], [math] y [math], sea [math] el circucentro de [math] sea [math] el reflejo de [math] por [math]
No leí toda la solución, pero
Spoiler: mostrar
Si [math] es punto medio de [math], y después reflejás [math] por [math], ¿No te queda [math]?

Y entonces
jujumas escribió:[math] es paralela a [math]
no es del todo correcto, ya que implicaría que [math] pertenece a la recta [math], pero como [math], entonces [math] y el [math] sería rectángulo, que es un caso particular.
Editado. Al principio definiendo los puntos se me mezclaron [math], [math] y [math].

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Fran5

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Re: Selectivo de IBERO - Puerto Rico 2017 P3

Mensaje sin leer por Fran5 » Dom 13 Ago, 2017 11:02 pm

Casi trivial el problema
Spoiler: mostrar
Basta ver que las rectas [math] y [math] son paralelas, donde [math] es el ortocentro de [math].

[math] es perpendicular a [math] porque [math] tambien es el ortocentro de [math]

[math] es perpendicular a [math] pues [math] es base media de [math] y [math] es perpendicular a [math] por esto.
([math] es el punto medio de [math], [math] es el punto medio de [math])

Luego [math] son colineales
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"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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