Provincial Entre Ríos 2005 N3 P2

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UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mar 08 Ago, 2017 2:57 pm

Sea $ABC$ un triángulo con $A\widehat BC=120°$, $AB=3$ y $BC=4$. Se traza por $A$ la perpendicular a $AB$ y se traza por $C$ la perpendicular a $BC$. Estas perpendiculares se cortan en $D$. Calcular $CD$.
$e^{i\pi}+1=0$
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Re: Provincial Entre Ríos 2005 N3 P2

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mar 08 Ago, 2017 3:02 pm

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Como $B\widehat AD=B\widehat CD=90°$, entonces $ABCD$ es cíclico y $A\widehat DC=60°$.
Prolongando $AB$ y $CD$ hasta que se corten en $E$ tenemos que $D\widehat EA=30°$, $E\widehat BC=180°-120°=60°$ y que por lo tanto, $\triangle ECB$ y $\triangle EAD$ son medio equiláteros. Como $BC=4$, entonces $BE=8$ y $EC=4\sqrt{3}$. En $\triangle EAD$ tenemos que $EA=AB+BE=3+8=11$ y $ED=11\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{22}{3}\sqrt{3}$.

Entonces $CD=ED-EC=\frac{22}{3}\sqrt{3}-4\sqrt{3}=\frac{22}{3}\sqrt{3}-\frac{12}{3}\sqrt{3}=\frac{10}{3}\sqrt{3}\approx 5,77$
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