Provincial 2004 N3 P1

[Gianni De Rico]

Sea [math]ABC un triángulo rectángulo en [math]A y [math]M, [math]N puntos del lado [math]BC tales que [math]BM=MN=CN. Si [math]AM=3 y [math]AN=2, calcular la medida de [math]MN.

[Gianni De Rico]

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Provincial 2004 N3 P1.png

Sean $H$ e $I$ los pies de las perpendiculares a $AB$ desde $N$ y $M$ respectivamente.

Por Thales:
$AH=\frac{1}{3}AB$
$NH=\frac{2}{3}AC$
$AI=\frac{2}{3}AB$
$MI=\frac{1}{3}AC$

Por Pitágoras en $\triangle AHN$:
$AH^2+NH^2=AN^2$
$\left (\frac{1}{3}AB\right )^2+\left (\frac{2}{3}AC\right )^2=2^2$
$\frac{1}{9}AB^2+\frac{4}{9}AC^2=4$

Por Pitágoras en $\triangle AIM$:
$AI^2+MI^2=AM^2$
$\left (\frac{2}{3}AB\right )^2+\left (\frac{1}{3}AC\right )^2=3^2$
$\frac{4}{9}AB^2+\frac{1}{9}AC^2=9$

Sumando ambas:
$\frac{1}{9}AB^2+\frac{4}{9}AC^2+\frac{4}{9}AB^2+\frac{1}{9}AC^2=9+4$
$\frac{5}{9}AB^2+\frac{5}{9}AC^2=13$
$\frac{5}{9}(AB^2+AC^2)=13$
$AB^2+AC^2=\frac{9\times 13}{5}=\frac{117}{5}$

Por Pitágoras en $\triangle ABC$:
$AB^2+AC^2=BC^2$

Reemplazando:
$BC^2=\frac{117}{5}$
$BC=\sqrt{\frac{117}{5}}=3\sqrt{\frac{13}{5}}$

Pero:
$BC=BM+MN+NC$

Como $BM=MN=NC$:
$BC=3MN$

Reemplazando nuevamente:
$3MN=3\sqrt{\frac{13}{5}}$

Finalmente:
$MN=\sqrt{\frac{13}{5}}$

[Turko Arias]

Una solución que por poco entra en un tweet

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Reflejamos [math]A respecto del punto medio de [math]BC, llamamos [math]D a la reflexión, por propiedades de la reflexión [math]AMDN es un paralelogramo, pero [math]AD=3MN y conocemos todos sus lados, luego por el Teorema del Paralelogramo [math]2.2^2+2.3^2=MN^2+(3MN)^2 y queda [math]MN=\sqrt{\frac{13}{5}}