Cono Sur 2017 P4

[Gianni De Rico]

Sea $ABC$ un triángulo acutángulo cuyo circuncentro es $O$. Se eligen puntos $X$ e $Y$ tales que:

• $\angle XAB=\angle YCB=90^\circ$,
• $\angle ABC=\angle BXA=\angle BYC$,
• $X$ y $C$ están en semiplanos distintos con relación a $AB$,
• $Y$ y $A$ están en semiplanos distintos con relación a $BC$.

Demostrar que $O$ es el punto medio de $XY$.

[Gianni De Rico]

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Tenemos que $\triangle AXB\simeq \triangle CYB$ ya que tienen dos ángulos congruentes. Entonces $A\widehat BX=C\widehat BY$. Por ser $X\widehat AB=90^\circ$ entonces $A\widehat BX+B\widehat XA=90^\circ =A\widehat BX+A\widehat BC=C\widehat BY+A\widehat BC$ y por lo tanto $AX\parallel BY$. Y como $A\widehat BX+B\widehat XA=90^\circ =C\widehat YB+Y\widehat BC$ resulta $A\widehat BX+B\widehat XA+C\widehat YB+Y\widehat BC=180^\circ =X\widehat BY+C\widehat YB$ por lo tanto $XB\parallel YC$. Sea $D=XA\cap YC$, entonces $XBYD$ es un paralelogramo y por lo tanto $X\widehat DY=X\widehat BY=A\widehat DC=180^\circ -C\widehat YB=180^\circ -C\widehat BA$ por lo tanto $D\in \omega$. Como $X\widehat AB=90^\circ$ entonces $D\widehat AB=90^\circ \Rightarrow BD$ es un diámetro de $\omega \Rightarrow O$ es punto medio de $BD$, pero como $XBYD$ es un paralelogramo, esto implica que $O$ es punto medio de $XY$.