Nacional 1999 N3 P2

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 11 Sep, 2017 12:16 am

Sean [math] y [math] circunferencias exteriores, de centros [math] y [math], respectivamente. Se trazan por [math] las dos tangentes a la circunferencia [math], que intersectan a [math] en [math] y [math]. Se trazan por [math] las dos tangentes a la circunferencia [math], que intersectan a [math] en [math] y [math]. Demostrar que el segmento [math] es igual al segmento [math].
[math]

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Re: Nacional 1999 N3 P2

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 11 Sep, 2017 12:21 am

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Sean [math], [math] los puntos de tangencia desde [math] a [math]; [math], [math] los puntos de tangencia desde [math] a [math]; [math] y [math]. Los triángulos [math], [math], [math], [math], [math], [math], [math] y [math] son isósceles ya que sus lados son radios de una circunferencia o tangentes desde un punto. Luego, los simétricos de [math], [math], [math], [math], [math] y [math] respecto de [math] son [math], [math], [math], [math], [math] y [math] respectivamente. Por lo tanto, [math] es el simétrico de [math] respecto de [math] y [math] es el simétrico de [math] respecto de [math].

Por ser tangentes [math], por opuestos por el vértice [math]. Luego, [math] y [math]. Como [math] y [math] son isósceles y tienen el ángulo entre sus lados iguales congruente, entonces [math] y como [math] entonces [math] y por Thales [math]. Por simetría [math] y [math]. Entonces [math] es un paralelogramo y por lo tanto [math].
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[math]

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