Problema 3 APMO 2005

Matías

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Problema 3 APMO 2005

Mensaje sin leer por Matías » Mié 13 Sep, 2017 6:14 pm

Demostrar que existe un triángulo que se puede dividir en 2005 triángulos iguales.
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Gianni De Rico

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Re: Problema 3 APMO 2005

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Vie 30 Mar, 2018 5:30 pm

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Tenemos que $2005=5\times 401$, como $5\equiv 401\equiv 1(4)$, entonces $2005$ se puede escribir como suma de dos cuadrados. Luego $2005=(2^2+1^2)(20^2+1^2)=(2\times 20-1\times 1)^2+(2\times 1+1\times 20)^2=(40-1)^2+(2+20)^2=39^2+22^2$.

Ahora, un triángulo con algún lado $n$ se puede dividir en $n^2$ triángulos congruentes y semejantes al grande con razón $\frac{1}{n}$ mediante paralelas a sus lados. Tomemos un triángulo rectángulo de catetos $22$ y $39$ y tracemos la altura correspondiente a la hipotenusa, los dos triángulos en que quedan divididos son semejantes. Dividimos el triángulo de hipotenusa $39$ en $39^2$ triángulos rectángulos congruentes de hipotenusa $39\times \frac{1}{39}=1$, y dividimos el triángulo de hipotenusa $22$ en $22^2$ triángulos rectángulos congruentes de hipotenusa $29\times \frac{1}{29}=1$. Como los dos triángulos de hipotenusas $22$ y $39$ son semejantes, y los chiquitos son semejantes a los grandes, tenemos que todos los triangulitos son semajantes, como todos tienen hipotenusa $1$, son congruentes. Luego, el triángulo quedó dividido en $39^2+22^2=2005$ triángulos iguales.
[math]

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