Problema 5 APMO 2005

Problema 5 APMO 2005

UNREAD_POSTpor Matías » Mié 13 Sep, 2017 6:43 pm

En un triángulo $ABC$ los puntos $M$ y $N$ de los lados $AB$ y $AC$, respectivamente, son tales que $MB=BC=CN$. Denotamos $R$ al circunradio y $r$ al inradio del triángulo $ABC$, respectivamente. Expresar la razón $MN/BC$ en términos de $R$ y $r$.

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Re: Problema 5 APMO 2005

UNREAD_POSTpor DiegoLedesma » Lun 25 Sep, 2017 12:04 am

Trazamos el segmento $BM$, luego $\triangle MBC$ es isósceles ($MB=BC$, siendo$A\widehat{B}C=2\alpha$)
La bisectriz $BI$ interseca a los lados $CM$ en $H$ ($BH$ altura, pues $MB=BC$) y $AC$ en $G$ ; y en $D$ a la circunferencia circunscrita.
Como ángulos iguales subtienden arcos iguales: $A\widehat{D}I$=$I\widehat{D}C$
Al ser $ABCD$ cuadrilátero cíclico, se tiene que $D\widehat{A}C=D\widehat{C}A=\alpha$ (pues $A\widehat{D}C=180º-2\alpha$)
En $\triangle ADC$, trazamos la mediatriz correspondiente al lado $AC$, la cual interseca al segmento AC en E, y en F a la circunferencia circunscrita.
Se observa entonces que $\triangle EDG$ y $\triangle GCH$ son semejantes ($E\widehat{D}G=G\widehat{C}H$)
Por Teorema del seno en $\triangle BCM: \;\frac{CM}{BC}=\frac{sen (2\alpha )}{sen(90º-\alpha) }=\frac{2sen(\alpha)cos(\alpha)}{cos(\alpha)}=2sen(\alpha)$
Luego, completando ángulos en$\triangle ICD$, se llega a que éste es isósceles ($DI=DC$)
Además,$A\widehat{F}D=\alpha$, y$D\widehat{A}F=90º$($DF$diámetro) $\Rightarrow$ $AD=2Rsin(\alpha$) (siendo $R$ el radio de la circunferencia circunscrita y $r$, el de la inscrita)
Además,$\frac{DI}{OD}=\frac{DC}{R}$=$\frac{2Rsen(\alpha)}{R}$=$2sen(\alpha)$ $\Rightarrow$ $\frac{CM}{BC}=\frac{OI}{OD}$
Pero $BC=CN$ $\Rightarrow$ $\frac{CM}{CN}=\frac{OI}{OD}$ $\Rightarrow$ $\triangle NCM=\triangle ODI$ $\Rightarrow$ $\frac{OI}{OD}=\frac{NM}{BC}$
Sabiendo que $OD=R$, elevando al cuadrado miembro a miembro, y aplicando la fórmula de Euler (incentro/circuncentro, donde $OI^2=R^2-2R.r$), se tiene:$\frac{OI^{2}}{R^{2}}=\left (\frac{NM}{BC}\right)^{2}$ $\Rightarrow$ $\frac{MN}{BC}=\sqrt{\frac{R^2-2R.r}{R^2}}$, lo que -simplificado- toma la forma: $\frac{MN}{BC}=\sqrt{1-\frac{2r}{R}}$

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Re: Problema 5 APMO 2005

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Mar 26 Sep, 2017 11:17 am

DiegoLedesma escribió:Como ángulos iguales subtienden arcos iguales: $A\widehat{D}I$=$I\widehat{D}C$

Esto es falso, ya que para que esto pase necesitás que se cumpla $AB=BC$
$e^{i\pi}+1=0$

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Re: Problema 5 APMO 2005

UNREAD_POSTpor Marco V » Mar 26 Sep, 2017 7:00 pm

Gianni De Rico escribió:
DiegoLedesma escribió:Como ángulos iguales subtienden arcos iguales: $A\widehat{D}I$=$I\widehat{D}C$

Esto es falso, ya que para que esto pase necesitás que se cumpla $AB=BC$

Igual (leyendo por arriba) no parece que afecte la solución, creo que quería decir que $AD=DC$ (ese dato sí se nota fácilmente que lo usa)
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Re: Problema 5 APMO 2005

UNREAD_POSTpor DiegoLedesma » Mar 26 Sep, 2017 8:36 pm

Sí, en realidad quise decir $A\widehat{D}E$=$E\widehat{D}C$. Error de vocal, y observándolo detenidamente, ni siquiera necesitaba esto para llegar a la solución (no lo taché cuando pasé lo que tenía en el borrador)... Pero como dice Marco, seguramente habrás apreciado que este desliz no afecta la solución (justificada paso a paso)

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