Problema 5 APMO 2005

Matías

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Problema 5 APMO 2005

Mensaje sin leer por Matías » Mié 13 Sep, 2017 6:43 pm

En un triángulo [math] los puntos [math] y [math] de los lados [math] y [math], respectivamente, son tales que [math]. Denotamos [math] al circunradio y [math] al inradio del triángulo [math], respectivamente. Expresar la razón [math] en términos de [math] y [math].

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DiegoLedesma
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Re: Problema 5 APMO 2005

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Lun 25 Sep, 2017 12:04 am

Trazamos el segmento [math], luego [math] es isósceles ([math], siendo[math])
La bisectriz [math] interseca a los lados [math] en [math] ([math] altura, pues [math]) y [math] en [math] ; y en [math] a la circunferencia circunscrita.
Como ángulos iguales subtienden arcos iguales: [math]=[math]
Al ser [math] cuadrilátero cíclico, se tiene que [math] (pues [math])
En [math], trazamos la mediatriz correspondiente al lado [math], la cual interseca al segmento AC en E, y en F a la circunferencia circunscrita.
Se observa entonces que [math] y [math] son semejantes ([math])
Por Teorema del seno en [math]
Luego, completando ángulos en[math], se llega a que éste es isósceles ([math])
Además,[math], y[math]([math]diámetro) [math] [math]) (siendo [math] el radio de la circunferencia circunscrita y [math], el de la inscrita)
Además,[math]=[math]=[math] [math] [math]
Pero [math] [math] [math] [math] [math] [math] [math]
Sabiendo que [math], elevando al cuadrado miembro a miembro, y aplicando la fórmula de Euler (incentro/circuncentro, donde [math]), se tiene:[math] [math] [math], lo que -simplificado- toma la forma: [math]
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Gianni De Rico

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Re: Problema 5 APMO 2005

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 26 Sep, 2017 11:17 am

DiegoLedesma escribió:Como ángulos iguales subtienden arcos iguales: [math]=[math]
Esto es falso, ya que para que esto pase necesitás que se cumpla [math]
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[math]

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Marco V
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Re: Problema 5 APMO 2005

Mensaje sin leer por Marco V » Mar 26 Sep, 2017 7:00 pm

Gianni De Rico escribió:
DiegoLedesma escribió:Como ángulos iguales subtienden arcos iguales: [math]=[math]
Esto es falso, ya que para que esto pase necesitás que se cumpla [math]
Igual (leyendo por arriba) no parece que afecte la solución, creo que quería decir que [math] (ese dato sí se nota fácilmente que lo usa)

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DiegoLedesma
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Re: Problema 5 APMO 2005

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Mar 26 Sep, 2017 8:36 pm

Sí, en realidad quise decir [math]=[math]. Error de vocal, y observándolo detenidamente, ni siquiera necesitaba esto para llegar a la solución (no lo taché cuando pasé lo que tenía en el borrador)... Pero como dice Marco, seguramente habrás apreciado que este desliz no afecta la solución (justificada paso a paso)
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