Problema 4 APMO 2006

Problema 4 APMO 2006

UNREAD_POSTpor Matías » Mié 13 Sep, 2017 7:14 pm

Sean $A$, $B$ dos puntos distintos en una circunferencia dada $O$ y sea $P$ el punto medio del segmento $AB$. Sea $O_1$ una circunferencia tangente a la recta $AB$ en $P$ y tangente a $O$. Sea $l$ la recta tangente a $O_1$ que pasa por $A$, distinta de la recta $AB$. Sea $C$ el punto de intersección de $l$ y $O$, distinto de $A$. Sea $Q$ el punto medio del segmento $BC$ y $O_2$ la circunferencia tangente a la recta $BC$ en $Q$ y tangente al segmento $AC$. Demostrar que la circunferencia $O_2$ es tangente a la circunferencia $O$.
Última edición por Matías el Sab 16 Sep, 2017 1:29 am, editado 1 vez en total

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Re: Problema 4 APMO 2006

UNREAD_POSTpor jujumas » Vie 15 Sep, 2017 10:15 pm

Matías escribió:Sean $A$, $B$ dos puntos distintos en una circunferencia dada $O$ y sea $P$ el punto medio del segmento $AB$. Sea $O_1$ una circunferencia tangente a la recta $AB$ en $P$ y tangente a $O$. Sea $l$ la recta tangente a $O_1$ que pasa por $A$, distinta de la recta $AB$. Sea $C$ el punto de intersección de $l$ y $O_1$ distinto de $A$. Sea $Q$ el punto medio del segmento $BC$ y $O_2$ la circunferencia tangente a la recta $BC$ en $Q$ y tangente al segmento $AC$. Demostrar que la circunferencia $O_2$ es tangente a la circunferencia $O$.


Donde dice:
Sea $C$ el punto de intersección de $l$ y $O_1$ distinto de $A$.

Debería decir:
Sea $C$ el punto de intersección de $l$ y $O$ distinto de $A$.

De lo contrario, lo que se pide demostrar no es cierto.

jujumas
 
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Re: Problema 4 APMO 2006

UNREAD_POSTpor Matías » Sab 16 Sep, 2017 1:30 am

jujumas escribió:
Matías escribió:Sean $A$, $B$ dos puntos distintos en una circunferencia dada $O$ y sea $P$ el punto medio del segmento $AB$. Sea $O_1$ una circunferencia tangente a la recta $AB$ en $P$ y tangente a $O$. Sea $l$ la recta tangente a $O_1$ que pasa por $A$, distinta de la recta $AB$. Sea $C$ el punto de intersección de $l$ y $O_1$ distinto de $A$. Sea $Q$ el punto medio del segmento $BC$ y $O_2$ la circunferencia tangente a la recta $BC$ en $Q$ y tangente al segmento $AC$. Demostrar que la circunferencia $O_2$ es tangente a la circunferencia $O$.


Donde dice:
Sea $C$ el punto de intersección de $l$ y $O_1$ distinto de $A$.

Debería decir:
Sea $C$ el punto de intersección de $l$ y $O$ distinto de $A$.

De lo contrario, lo que se pide demostrar no es cierto.

Tenés razón, iba una coma en vez de un 1, ahí lo edité.

Matías
 
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Re: Problema 4 APMO 2006

UNREAD_POSTpor Gianni De Rico » Sab 16 Sep, 2017 12:55 pm

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Sea $I$ el incentro de $\triangle ABC$, $R$ el punto de tangencia de $O_1$ con $AC$, $T$ el punto de tangencia de $O_2$ con $AC$ y $X$ el centro de $O_2$.

Notemos que $O_1$ es el incírculo mixtilíneo correspondiente al punto $A$ en $\triangle ABC$, entonces $I$ es el punto medio de $PR$. Por ser base media $PQ\parallel AC$. Sea $S$ tal que $QCTS$ es un paralelogramo ($S$, $P$ y $Q$ son colineales), entonces $T\widehat SP=Q\widehat CR$, $R\widehat TS=P\widehat QC$ y por alternos internos $R\widehat PQ=P\widehat RT$. Luego, los cuadriláteros $PQCR$ y $RTSP$ son homotéticos de razón $\frac{PQ}{RT}=\frac{QC}{TS}=\frac{CR}{SP}=\frac{RP}{PR}=1\Rightarrow PQ=RT$, como además $PQ\parallel RT$ entonces $PQRT$ es un paralelogramo y por lo tanto $I$ es el punto medio de $TQ$.

Por ser tangentes a $O_2$ desde $C$, $CQ=CT$. Por ser radios de $O_2$, $XT=XQ$. Luego, $CTXQ$ es un romboide y por lo tanto $CX\cap TQ=I$ y $CX\perp TQ$. Entonces $O_2$ es el incírculo mixtilíneo correspondiente al punto $C$ en $\triangle ABC$ y por lo tanto $O_2$ es tangente a $O$.

Comentarios:
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Otra forma de ver que $C$, $I$, $X$ son colineales es que $O_2$ es tangente a $AC$ y $BC$ y por lo tanto $X$ pertenece a la bisectriz de $A\widehat CB$.

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$SQCT$ es un rombo, no es algo importante, pero sin dudas es interesante.
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$e^{i\pi}+1=0$

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