Problema 4 APMO 2006

Matías

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Problema 4 APMO 2006

Mensaje sin leer por Matías » Mié 13 Sep, 2017 7:14 pm

Sean [math], [math] dos puntos distintos en una circunferencia dada [math] y sea [math] el punto medio del segmento [math]. Sea [math] una circunferencia tangente a la recta [math] en [math] y tangente a [math]. Sea [math] la recta tangente a [math] que pasa por [math], distinta de la recta [math]. Sea [math] el punto de intersección de [math] y [math], distinto de [math]. Sea [math] el punto medio del segmento [math] y [math] la circunferencia tangente a la recta [math] en [math] y tangente al segmento [math]. Demostrar que la circunferencia [math] es tangente a la circunferencia [math].
Última edición por Matías el Sab 16 Sep, 2017 1:29 am, editado 1 vez en total.

jujumas

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Re: Problema 4 APMO 2006

Mensaje sin leer por jujumas » Vie 15 Sep, 2017 10:15 pm

Matías escribió:Sean [math], [math] dos puntos distintos en una circunferencia dada [math] y sea [math] el punto medio del segmento [math]. Sea [math] una circunferencia tangente a la recta [math] en [math] y tangente a [math]. Sea [math] la recta tangente a [math] que pasa por [math], distinta de la recta [math]. Sea [math] el punto de intersección de [math] y [math] distinto de [math]. Sea [math] el punto medio del segmento [math] y [math] la circunferencia tangente a la recta [math] en [math] y tangente al segmento [math]. Demostrar que la circunferencia [math] es tangente a la circunferencia [math].
Donde dice:
Sea [math] el punto de intersección de [math] y [math] distinto de [math].

Debería decir:
Sea [math] el punto de intersección de [math] y [math] distinto de [math].

De lo contrario, lo que se pide demostrar no es cierto.

Matías

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Re: Problema 4 APMO 2006

Mensaje sin leer por Matías » Sab 16 Sep, 2017 1:30 am

jujumas escribió:
Matías escribió:Sean [math], [math] dos puntos distintos en una circunferencia dada [math] y sea [math] el punto medio del segmento [math]. Sea [math] una circunferencia tangente a la recta [math] en [math] y tangente a [math]. Sea [math] la recta tangente a [math] que pasa por [math], distinta de la recta [math]. Sea [math] el punto de intersección de [math] y [math] distinto de [math]. Sea [math] el punto medio del segmento [math] y [math] la circunferencia tangente a la recta [math] en [math] y tangente al segmento [math]. Demostrar que la circunferencia [math] es tangente a la circunferencia [math].
Donde dice:
Sea [math] el punto de intersección de [math] y [math] distinto de [math].

Debería decir:
Sea [math] el punto de intersección de [math] y [math] distinto de [math].

De lo contrario, lo que se pide demostrar no es cierto.
Tenés razón, iba una coma en vez de un 1, ahí lo edité.

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Gianni De Rico

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Re: Problema 4 APMO 2006

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 16 Sep, 2017 12:55 pm

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Sea [math] el incentro de [math], [math] el punto de tangencia de [math] con [math], [math] el punto de tangencia de [math] con [math] y [math] el centro de [math].

Notemos que [math] es el incírculo mixtilíneo correspondiente al punto [math] en [math], entonces [math] es el punto medio de [math]. Por ser base media [math]. Sea [math] tal que [math] es un paralelogramo ([math], [math] y [math] son colineales), entonces [math], [math] y por alternos internos [math]. Luego, los cuadriláteros [math] y [math] son homotéticos de razón [math], como además [math] entonces [math] es un paralelogramo y por lo tanto [math] es el punto medio de [math].

Por ser tangentes a [math] desde [math], [math]. Por ser radios de [math], [math]. Luego, [math] es un romboide y por lo tanto [math] y [math]. Entonces [math] es el incírculo mixtilíneo correspondiente al punto [math] en [math] y por lo tanto [math] es tangente a [math].

Comentarios:
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Otra forma de ver que [math], [math], [math] son colineales es que [math] es tangente a [math] y [math] y por lo tanto [math] pertenece a la bisectriz de [math].
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[math] es un rombo, no es algo importante, pero sin dudas es interesante.
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2  
[math]

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