Ibero 2017 - P2

Ibero 2017 - P2

UNREAD_POSTpor Violeta » Mar 19 Sep, 2017 2:50 pm

Sean $ABC$ un triángulo acutángulo y $\Gamma$ su circunferencia circunscrita. Sea $D$ un punto en el segmento $BC$, distinto de $B$ y de $C$, y sea $M$ el punto medio de $AD$. La recta perpendicular a $AB$ que pasa por $D$ corta a $AB$ en $E$ y a $\Gamma$ en $F$, con el punto $D$ entre $E$ y $F$. Las rectas $FC$ y $EM$ se cortan en el punto $X$. Si $\angle DAE = \angle AFE$, demostrar que la recta $AX$ es tangente a $\Gamma$.
Para todo $k$, existen $k$ primos en sucesión aritmética.
Avatar de Usuario
Violeta
 
Mensajes: 323
Registrado: Sab 04 Jun, 2016 11:50 pm
Ubicación: Puerto Rico
Medals: 1
OFO - Mención

Re: Ibero 2017 - P2

UNREAD_POSTpor jujumas » Mar 19 Sep, 2017 9:42 pm

Solución:
Spoiler: Mostrar
Consideremos una circunferencia de radio arbitrario y centro $A$, e invirtamos por dicha circunferencia.

Problema 2 Ibero 2017.png


Notemos que $D$ va a la circunferencia circunscrita de $ABC$, que $F$ va a $BC$, que $\angle ADE = \angle AFE = 90^{\circ}$, y $\angle DAE = \angle AEF$. Veamos que $D$ es punto medio de $AM$, y las rectas $EM$ y $FC$ pasan a ser las circunferencias circunscritas a $AEM$ y $AFC$ respectivamente.

Sea entonces $K$ su intersección, queremos ver que $AK$ y $BC$ son paralelas. Esto quiere decir, que queremos probar que $AFCK$ es un trapecio isósceles. Sea entonces $O$ el circucentro de $AEM$, queremos ver que $OF=OC$.

Notemos primero que $ED$ es mediatriz de $AM$, por lo que $E$, $D$ y $O$ son colineales. Ademas, notemos que la intersección de $AF$ y $ED$ cae en la mediatriz de $AE$, por lo que esta es la intersección de las mediatrices de $AE$ y $AM$, y $AD$ y $AF$ se cortan en $O$.

Veremos ahora que $O$ es circucentro de $CDF$. Para esto, usaremos $OF=OD$ y el reciproco de angulo central. Este ultimo se ve usando que $2F\hat{C}D=2B\hat{A}D=180^{\circ}-2A\hat{E}D=A\hat{O}E=F\hat{O}D$, lo que, como $O$ y $C$ caen sobre el mismo semiplano de $DF$, concluye la demostración.
No tiene los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.

A Gianni De Rico le gusta este mensaje.

jujumas
 
Mensajes: 313
Registrado: Dom 26 Oct, 2014 8:30 pm
Medals: 5
OFO - Mención OFO - Medalla de Plata FOFO 6 años - Medalla Especial OFO - Oro perfecto
FOFO Pascua 2017 - Medalla
Nivel: 2

Re: Ibero 2017 - P2

UNREAD_POSTpor Violeta » Vie 13 Oct, 2017 1:59 pm

Spoiler: Mostrar
Sea $\angle AFE = \angle DAE = \alpha$

Notamos que la condición sobre $\alpha$ da que $EA$ es tangente al circuncírculo de $ADF$, de donde

(1) $EA^2=ED \cdot EF$

Ahora bien, $\angle BCF = \angle EAF = 90-\alpha$. Esto es (2). También, como $M$ es el punto medio de la hipotenusa, sale que $M$ es el circuncentro de $AED$, de donde $\angle AEM = \angle EAM = \alpha$ (3) y $\angle MED = \angle MDE = 90-\alpha$.

Luego, de $\angle DCX + \angle DEX
 = 180 - \angle BCF +90-\alpha = 180$ sale que DCXE es cíclico y $FX \cdot FC = FE \cdot FD$ (4).

De (2) y (3) sale que $EX \perp AF$ y $AX^2+EF^2=AE^2+XF^2$. Combinando esto con (1) y (4):

$AX^2 + EF^2 = EF\cdot ED + XF^2$

$AX^2+ EF\cdot FD = XF^2$

$AX^2 + FC \cdot FX =XF^2$

$AX^2 = XF \cdot XC$

Que es suficiente para probar que $AX$ es tangente a $\Gamma$.
Para todo $k$, existen $k$ primos en sucesión aritmética.

A Gianni De Rico le gusta este mensaje.
Avatar de Usuario
Violeta
 
Mensajes: 323
Registrado: Sab 04 Jun, 2016 11:50 pm
Ubicación: Puerto Rico
Medals: 1
OFO - Mención


Volver a Geometría

¿Quién está conectado?

Usuarios navegando por este Foro: No hay usuarios registrados visitando el Foro y 1 invitado