Ibero 2017 - P2

Avatar de Usuario
Violeta

OFO - Mención FOFO 7 años - Medalla Especial
Mensajes: 323
Registrado: Sab 04 Jun, 2016 11:50 pm
Medallas: 2
Ubicación: Puerto Rico

Ibero 2017 - P2

Mensaje sin leer por Violeta » Mar 19 Sep, 2017 2:50 pm

Sean [math] un triángulo acutángulo y [math] su circunferencia circunscrita. Sea [math] un punto en el segmento [math], distinto de [math] y de [math], y sea [math] el punto medio de [math]. La recta perpendicular a [math] que pasa por [math] corta a [math] en [math] y a [math] en [math], con el punto [math] entre [math] y [math]. Las rectas [math] y [math] se cortan en el punto [math]. Si [math], demostrar que la recta [math] es tangente a [math].
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

jujumas

OFO - Mención OFO - Medalla de Plata FOFO 7 años - Medalla Especial OFO - Oro perfecto FOFO Pascua 2017 - Medalla
Mensajes: 315
Registrado: Dom 26 Oct, 2014 8:30 pm
Medallas: 6
Nivel: 2

Re: Ibero 2017 - P2

Mensaje sin leer por jujumas » Mar 19 Sep, 2017 9:42 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Consideremos una circunferencia de radio arbitrario y centro [math], e invirtamos por dicha circunferencia.
Problema 2 Ibero 2017.png
Notemos que [math] va a la circunferencia circunscrita de [math], que [math] va a [math], que [math], y [math]. Veamos que [math] es punto medio de [math], y las rectas [math] y [math] pasan a ser las circunferencias circunscritas a [math] y [math] respectivamente.

Sea entonces [math] su intersección, queremos ver que [math] y [math] son paralelas. Esto quiere decir, que queremos probar que [math] es un trapecio isósceles. Sea entonces [math] el circucentro de [math], queremos ver que [math].

Notemos primero que [math] es mediatriz de [math], por lo que [math], [math] y [math] son colineales. Ademas, notemos que la intersección de [math] y [math] cae en la mediatriz de [math], por lo que esta es la intersección de las mediatrices de [math] y [math], y [math] y [math] se cortan en [math].

Veremos ahora que [math] es circucentro de [math]. Para esto, usaremos [math] y el reciproco de angulo central. Este ultimo se ve usando que [math], lo que, como [math] y [math] caen sobre el mismo semiplano de [math], concluye la demostración.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
1  

Avatar de Usuario
Violeta

OFO - Mención FOFO 7 años - Medalla Especial
Mensajes: 323
Registrado: Sab 04 Jun, 2016 11:50 pm
Medallas: 2
Ubicación: Puerto Rico

Re: Ibero 2017 - P2

Mensaje sin leer por Violeta » Vie 13 Oct, 2017 1:59 pm

Spoiler: mostrar
Sea [math]

Notamos que la condición sobre [math] da que [math] es tangente al circuncírculo de [math], de donde

(1) [math]

Ahora bien, [math]. Esto es (2). También, como [math] es el punto medio de la hipotenusa, sale que [math] es el circuncentro de [math], de donde [math] (3) y [math].

Luego, de [math] sale que DCXE es cíclico y [math] (4).

De (2) y (3) sale que [math] y [math]. Combinando esto con (1) y (4):

[math]

[math]

[math]

[math]

Que es suficiente para probar que [math] es tangente a [math].
1  
Para todo [math], existen [math] primos en sucesión aritmética.

Responder