Ibero 2017 P4

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Gianni De Rico

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Ibero 2017 P4

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mié 20 Sep, 2017 2:38 pm

Sean [math] un triángulo acutángulo con [math] y [math] su circuncentro. Sea [math] un punto en el segmento [math] tal que [math] está en el interior del triángulo [math] y [math]. Llamamos [math] y [math] a los circuncentros de los triángulos [math] y [math] respectivamente y [math] al punto de intersección de las rectas [math] y [math]. Demostrar que las rectas [math], [math] y [math] son concurrentes.

Nota. El circuncentro de un triángulo es el centro de la circunferencia que pasa por los tres vértices del triángulo.
[math]

jujumas

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Re: Ibero 2017 P4

Mensaje sin leer por jujumas » Mié 20 Sep, 2017 4:04 pm

Solución:
Spoiler: mostrar
Afirmamos que [math] cae sobre la circunscrita de [math].
Problema 4 Ibero 2017.png
Para ver esto, notemos que [math] por angulo central, por lo que [math], por lo que [math].

Notemos ahora que [math] es mediatriz de [math], por lo que lo que queremos ver se reduce a probar que [math], que es equivalente a ver que [math], y usando que [math] es ciclico, es equivalente a ver que [math], que por angulo central es equivalente a ver que [math], o que [math]. Por angulo central en [math], esto es entonces equivalente a ver que [math], pero esto es equivalente a ver que [math],
lo que se nos da como condición en el enunciado. Esto completa la demostración.
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