Generalización OMM 2017 P5

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 417
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario

Generalización OMM 2017 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 17 Oct, 2017 12:22 pm

Sea [math] el circuncentro de [math]. Una circunferencia que pasa por [math] y [math] intersecta a las rectas [math] y [math] en los puntos [math] y [math], respectivamente. Demostrar que el ortocentro del [math] está sobre la recta [math]
Última edición por Gianni De Rico el Mar 17 Oct, 2017 8:23 pm, editado 1 vez en total.
[math]

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 417
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario

Re: Generalización OMM 2017 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 17 Oct, 2017 12:25 pm

Spoiler: mostrar
Sea [math] el ortocentro de [math], entonces [math] y [math], por lo que [math] es el ortocentro de [math], es decir que [math] y [math] por los cíclicos que forman las alturas

Por ser [math] circuncentro de [math] resulta [math], entonces [math] y [math]

Tenemos que [math] es cíclico, entonces [math] y [math] es cíclico. También [math] y [math] es cíclico.

Sea [math] la circunscrita a [math]
Invirtiendo por [math] tenemos que [math] va a [math], [math] a [math], [math] a [math] y [math] permanecen fijos. Por ser [math], [math] y [math] cíclicos entonces [math], [math] y [math]. Como [math] son colineales, [math] es cíclico, entonces [math]. Como [math] son colineales, [math] es cíclico, entonces [math]

Entonces:
[math]

Pero:
[math]

Por lo tanto:
[math]

Entonces [math] es cíclico [math] son colineales


Esta demostración es para cuando [math] y [math] pertenecen a los lados del triángulo. Las igualdades siguen valiendo en los otros casos por la ciclicidad de [math] y porque se toman los ángulos suplementarios y luego sus suplementarios nuevamente.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
[math]

ricarlos
Mensajes: 338
Registrado: Lun 17 Dic, 2012 2:24 pm

Re: Generalización OMM 2017 P5

Mensaje sin leer por ricarlos » Mar 17 Oct, 2017 7:38 pm

Gianni De Rico escribió:Sea [math] el circuncentro de [math]. Una circunferencia que pasa por [math] intersecta a las rectas [math] y [math] en los puntos [math] y [math], respectivamente. Demostrar que el ortocentro del [math] está sobre la recta [math]
Hola amigo, me alegra verte resolviendo problemas de geometria, pero ¿estas seguro de este enunciado? ¿puede ser que la circunferencia ademas de O tiene que pasar por B?, fijate porque a mi con geogebra no me da tu enunciado. Saludos
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

Avatar de Usuario
Gianni De Rico

FOFO 7 años - Mención Especial
Mensajes: 417
Registrado: Vie 16 Sep, 2016 6:58 pm
Medallas: 1
Nivel: Exolímpico
Ubicación: Rosario

Re: Generalización OMM 2017 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Mar 17 Oct, 2017 8:23 pm

Sí sí, pasa por [math] y [math]
[math]

Responder