Una razon constante en geometria

ricarlos
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Una razon constante en geometria

Mensaje sin leer por ricarlos » Sab 21 Oct, 2017 3:51 pm

Sean una circunferencia fija y los puntos [math] y [math] fijos sobre ella.
Sea [math] un punto movil sobre el [math] de dicha circunferencia.
Sea [math] el punto medio del [math].
Por [math] se traza una paralela a [math] que corta a [math] en [math].

Probar que la razon [math] es constante.

dibujito por si no fue claro : https://ibb.co/n35fwR
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Marco V

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Re: Una razon constante en geometria

Mensaje sin leer por Marco V » Sab 21 Oct, 2017 4:49 pm

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Sea [math]. Sabemos que [math] es bisectriz de [math], luego por alternos internos [math]. Si [math], entonces [math] y [math], luego [math]
Como [math] es cíclico [math] (ya que [math] y [math] son suplementarios) y como [math], [math] es semejante a [math]
Como [math], [math], y [math] son constantes (el último una vez definido el arco de [math] al que pertenece [math]), la relación entre los lados del triángulo que forman son constantes también, por lo tanto son constantes para el triángulo [math], particularmente: [math] es constante.

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Gianni De Rico

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Re: Una razon constante en geometria

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 22 Oct, 2017 12:44 am

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Una vez que llegaste que [math], otra forma de ver a semejanza es que por arco capaz [math]
[math]

ricarlos
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Re: Una razon constante en geometria

Mensaje sin leer por ricarlos » Dom 22 Oct, 2017 1:55 pm

Buena! interesante la solucion y el comentario.

Esta respuesta gira mas o menos sobre lo mismo pero me da pie a un comentario.
Spoiler: mostrar
Hacemos que [math] vuelva a cortar la circunferencia en [math]. Entonces [math] por ser [math] y dichos angulos son constantes porque el arco [math] es constante. Por otro lado [math] tambien es constante porque el arco [math] es constante, entonces todos los triangulos [math] que suceden conforme se mueve [math] son semejantes entre si. De esto sale que [math] (1) se mantiene constante. Como por potencia de [math] tenemos que [math] entonces [math].

Este problemita sale de un teorema que dice [math] es constante. Con la solucion de Marco se ve que [math] y por lo tanto [math]. En mi solucion si miramos la fraccion (1) entonces tendriamos que pobar que [math] para adaptarlo al teorema (es decir que PMRQ es un paralelogramo).
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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Gianni De Rico

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Re: Una razon constante en geometria

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 23 Oct, 2017 2:13 am

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Tenemos que [math] es un trapecio cíclico, entonces es isósceles. Por lo tanto [math] por ser [math] bisectriz, enonces por alternos internos [math], como [math], resulta que [math] es un paralelogramo. Se sigue que [math] y el Teorema queda demostrado.
[math]

ricarlos
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Re: Una razon constante en geometria

Mensaje sin leer por ricarlos » Lun 23 Oct, 2017 2:23 pm

Bien Gianni!
Aqui dejo (la pagina donde encontre) el teorema en cuestion bien presentado y completito como debe ser
http://apolonio.es/guirnalda/un-invariante-de-vieta/
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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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