Gergonne, equilatero, midpoint

ricarlos
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Gergonne, equilatero, midpoint

Mensaje sin leer por ricarlos » Dom 12 Nov, 2017 8:58 pm

Sean [math] un triangulo y [math] y [math] los puntos de tangencia de su incirculo con los lados [math] y [math], respectivamente.
[math] (punto de Gergonne)
Una perpendidular a [math] por el punto [math] corta a [math] en [math].
Supongamos que [math] es equilatero, demostrar que [math] es punto medio de [math].
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Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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enigma1234

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Re: Gergonne, equilatero, midpoint

Mensaje sin leer por enigma1234 » Jue 01 Mar, 2018 2:38 am

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Screenshot_2018-02-28-11-51-36-1.png
Sea $E=AC\mathrm{\cap} BG $ y sea $AF=a,BF=b,CE=c$.
Por los equilateros y puntos de tangencia es claro que $AF=AE=FG=AG=a$,$BF=BD=b$,$CE=CD=c $.
Dado al equilatero y que $FM$ es perpendicular a $AB $ entonces $GM=a $ entonces debemos probar que $MD=a $ que equivale a $GD=2a $.
Sea $GD=x $ aplicamos el teorema de Menelao en el triángulo $ACD $ y los puntos $B, G, E$ tenemos que:$\frac{AG}{GD}×\frac{DB}{BC}×\frac{CE}{EA}=1 \to \frac {abc}{x (b+c)a}=1\to x=\frac{bc}{b+c}$.
Ahora aplicando el teorema de Stewart en el triángulo $ABC $ con ceviana $AD$ tenemos que:
$AB^2DC+AC^2DB=AD^2 BC+BD×DC×BC\to (a+b)^2c+(a+c)^2b=(a+x)^2 (b+c)+bc (b+c)$
$\to a^2c+b^2c+2abc+a^2b+c^2b+2abc=a^2b+a^2c+2ax(b+c)+x^2(b+c)+bc^2+b^2c $
$\to 4abc=2ax(b+c)+x^2(b+c)$ como $x (b+c)=bc $
$\to 4abc=2abc+xbc\to x=2a\to GD=2a $ y tenemos lo pedido.
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One in a millon...my lucky strike! :D

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