Nacional 2017 N3 P3

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Nacional 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por 3,14 » Sab 18 Nov, 2017 11:56 am

Sean $ABC$ un triángulo de perímetro $100$ e $I$ el punto de intersección de sus bisectrices. Sea $M$ el punto medio del lado $BC$. La recta paralela a $AB$ trazada por $I$ corta a la mediana $AM$ en el punto $P$ de modo que $\frac {AP}{PM}=\frac {7}{3}$. Hallar la longitud del lado $AB$.
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Re: Nacional 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por 3,14 » Sab 18 Nov, 2017 12:11 pm

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Tracemos la altura $h_c$, es decir, la altura desde $C$ al lado $AB$. Sea $Q$ el pie de esta altura. Tracemos la perpendicular desde $M$ al lado $AB$, y sea $N$ el punto de intersección de $AB$ con esta perpendicular.
Notemos que los triángulos $BMN$ y $BCQ$ son semejantes. Entonces:
$\frac {BM}{BC}=\frac {NM}{QC}$
$\frac {1}{2}=\frac {NM}{h_c}$
Por otro lado, notemos que por ser $PI$ paralela a $AB$, la perpendicular desde $P$ al lado $AB$ tiene medida igual a $r$, donde $r$ es el inradio de $ABC$. Además, si $R$ es el pie de la perpendicular desde $P$ a $AB$, entonces es inmediato que los triángulos $AMN$ y $APR$ son semejantes:
$\frac {AP}{AM}=\frac {PR}{MN}$
$\frac {7}{10}=\frac {r}{MN}$
Por otro lado, notemos que el área de $ABC$ se puede calcular de las dos formas siguientes:
$[ABC]=\frac {AB.h_c}{2}=s.r$ donde $s$ es el semiperímetro
$AB.2MN.\frac {1}{2}=50.r$
$AB.\frac {10}{7}r=50r$
$AB=50.\frac {7}{10}$
$AB=35$
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DiegoLedesma
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Re: Nacional 2017 N3 P3

Mensaje sin leer por DiegoLedesma » Sab 18 Nov, 2017 10:04 pm

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Otra forma:
*Prolongamos $PD$ hasta cortar a $AC$ en $E$. Como $ED//AB$, se tiene que $ABED$ es un trapecio, por lo que los ángulos consecutivos entre las bases son suplementarios (conjugados internos). Luego, completando ángulos se llega a que $\triangle$$AEI$ y $\triangle$$BDI$ son isósceles ($AE=EI$, $BD=DI$)
*Además:
a) $\triangle$$AMB$~$\triangle$$PMD$, por lo que: $MD=\frac{3}{10}MB$ $\Rightarrow$ $BD=DI=\frac{1}{10}MB$
b) $\triangle$$ICD$~$\triangle$$FCB$, por lo que: $FB=\frac{14}{13}MB$ $\Rightarrow$ $FB=\frac{7}{13}BC$ ($CF$ bisectriz, $F$ en $AB$)
*Luego, aplicando el teorema de la bisectriz (centrándonos en la bisectriz $CF$), tenemos que:
$\frac{AC}{AF}$=$\frac{BC}{(7/13)BC}$ $\Rightarrow$ $AF=\frac{7}{13}AC$
*Como el perímetro de $\triangle$$ABC$ es $100$, y colocando dicho perímetro en función de AC y BC, se tiene que: $(20/13)(AC+BC)=100$ entonces $AC+BC=65$
$\therefore$ $AB=35$

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