Nacional 2017 N2 P5

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BrunoDS

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Nacional 2017 N2 P5

Mensaje sin leer por BrunoDS » Sab 18 Nov, 2017 4:24 pm

Se tiene un cuadrilátero convexo $ABCD$ de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$, con $AB = BD = 8$ y $CD = DA = 6$. Sean $P$ en el lado $AB$ tal que $DP$ es bisectriz del ángulo $A\widehat{D}B$ y $Q$ en el lado $BC$ tal que $DQ$ es bisectriz del ángulo $C\widehat{D}B$. Determinar el valor del radio de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo $DPQ$.
1  
$B > \frac{1}{n} \sum\limits_{i=1}^n x_i$

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enigma1234

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Re: Nacional 2017 N2 P5

Mensaje sin leer por enigma1234 » Sab 18 Nov, 2017 8:07 pm

Parte 1
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Por el teorema de la bisectriz en los triangulos ADB y BDC tenemos que $\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{QC}=\frac{8}{6} $ de esto tenemos que PQ y CA son paralelas.
Ahora sea $\angle ADP=\angle PDB=\beta$ y $\angle BDQ=\angle QDC=\alpha$ entonces como CD=DA=6 entonces $\angle DAC=\angle DCA= 90-\alpha-\beta$.
Sea X y Y los puntos de interseccion de AC con PD y QD respectivamente.Entonces $\angle DXY=\angle ADX+\angle PDA=90-\alpha$ y como PQ y CA son paralelas tenemos que $\angle DPQ=\angle DXY=90-\alpha$ analogamente $\angle PQD=90-\beta$ y como $\angle PDB=\beta$ y $\angle BDQ=\alpha$ entonces el circuncirculo O del triangulo PQD esta en BD.
One in a millon...my lucky strike! :D

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enigma1234

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Re: Nacional 2017 N2 P5

Mensaje sin leer por enigma1234 » Sab 18 Nov, 2017 9:09 pm

One in a millon...my lucky strike! :D

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2017 N2 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Dom 19 Nov, 2017 10:16 am

Tip para una muy buena que contaron en la premiación
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Demostrar que la circunferencia $DPQ$ y la circunferencia de centro $D$ y radio $DA$ son homotéticas con centro $B$
[math]

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Fran5

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Re: Nacional 2017 N2 P5

Mensaje sin leer por Fran5 » Lun 20 Nov, 2017 3:25 pm

Comentario
El dato $AB = 8$ está de más
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Sea $O$ la intersección de la paralela a $AD$ por $P$.

Sea $r = OD$

Observemos que

$\frac{8-r}{r} = \frac{BO}{OD}= \frac{BP}{PA} = \frac{BD}{DA} = \frac{8}{6} = \frac{BD}{DC} = \frac{BQ}{QC}$

Luego $QO$ y $CD$ son paralelas, con lo cual haciendo angulitos $O$ es el circuncirculo de $DOP$

Resolviendo $\frac{8-r}{r}=\frac{8}{6}$ se tiene $r = \frac{24}{7}$
"Al toque Roque // Al pique Quique // Tranca palanca // No pasa nada // Argentina Gana // La tenés adentro // Costa Rica te entro"

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2017 N2 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Sab 02 Dic, 2017 8:26 pm

Gianni De Rico escribió:
Dom 19 Nov, 2017 10:16 am
Tip para una muy buena que contaron en la premiación
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Demostrar que la circunferencia $DPQ$ y la circunferencia de centro $D$ y radio $DA$ son homotéticas con centro $B$
Siguiendo
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Tracemos la circunferencia de centro $D$ y radio $DA=DC=6$, prolonguemos $BD$ hasta que corte a dicha circunferencia en $E$, de modo que $D$ esté entre $E$ y $B$. Entonces $DE=DA=DC=6$.

Por el Teorema de la Bisectriz, $\frac{BP}{PA}=\frac{BD}{DA}=\frac{BD}{DE}$ y $\frac{BQ}{QC}=\frac{BD}{DC}=\frac{BD}{DE}$, entonces $\frac{BP}{PA}=\frac{BQ}{QC}=\frac{BD}{DE}=\frac{8}{6}=\frac{4}{3}$. Luego, $\frac{BA}{BP}=\frac{BC}{BQ}=\frac{BE}{BD}=\frac{7}{4}$ y las circunscriptas a $\triangle ACE$ y $\triangle DPQ$ son homotéticas de centro $B$.

Si $r$ es el radio de la circunscripta a $\triangle DPQ$, entonces $\frac{DE}{r}=\frac{7}{4}\Rightarrow r=\frac{4DE}{7}$, como $DE=6$ resulta $r=\frac{24}{7}$
Comentario
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Con esta demostración no importa si $ABCD$ es convexo o no, más aún no importa tampoco si sus lados se intersectan en otros puntos además de sus extremos.
No tienes los permisos requeridos para ver los archivos adjuntos a este mensaje.
[math]

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