Nacional 2017 N3 P6

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Gianni De Rico

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Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Lun 20 Nov, 2017 11:29 pm

Se trazan todas las diagonales de un polígono convexo de $10$ lados. Ellas dividen sus ángulos en $80$ partes. Se sabe que al menos $59$ de esas partes son iguales. Determinar la mayor cantidad de valores distintos entre los $80$ ángulos de la división y cuántas veces ocurre cada uno de esos valores.
[math]

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Gianni De Rico

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Re: Nacional 2017 N3 P6

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 15 Mar, 2018 3:21 pm

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Decimos que a un segmento le corresponde un ángulo si al formar un triángulo con los extremos del segmento y el vértice del ángulo, éste es opuesto al segmento. Como hay $10$ segmentos y $59$ ángulos iguales, por Palomar a uno de ellos le corresponderán $6$ ángulos iguales, por arco capaz, los extremos del segmento y los otros $6$ vértices estarán sobre una circunferencia. Vamos a demostrar que los otros dos vértices del polígono están en la misma circunferencia.

Vértice $9$:
Si a alguno de los segmentos le corresponden $7$ o más ángulos iguales estamos, supongamos entonces que a todos le corresponden a lo sumo $6$ ángulos iguales. Si hay algún segmento al que le correspondan como mucho $4$ ángulos iguales, entonces a los demás les corresponderán por lo menos $59-4=55$ ángulos iguales, y por Palomar a alguno le corresponden $7$. Sino, a todos los segmentos les corresponden por lo menos $5$ ángulos iguales, si hay dos a los que les corresponden $5$, a los demás les corresponden $59-10=49$ ángulos iguales, y por Palomar a uno le corresponden $7$. Entonces el único caso que nos queda es que a uno le correspondan $5$ y a los demás $6$, pero de esta forma todos los polígonos cíclicos que determinan los segmentos tienen por lo menos $5$ puntos en común con la circunferencia, y todos los vértices están en la circunferencia.

Entonces sabemos que por lo menos $9$ de los vértices están en la circunferencia.


Vértice $10$:
Si a cualquiera de los dos segmentos a los que pertenece este vértice le corresponden por lo menos dos ángulos iguales, determinará un polígono cíclico, pero tendrá por lo menos $3$ puntos en común con la circunferencia, por lo tanto las dos circunferencias serán la misma y el vértice está sobre la circunferencia. Supongamos que esto no pasa, entonces a cada uno de los segmentos le corresponde como mucho $1$ ángulo igual, y por lo tanto a los demás le corresponden al menos $59-1-1=57$ ángulos iguales, y por Palomar a uno le corresponden $8$ ángulos iguales.

Luego, los $10$ vértices están sobre la circunferencia.



Como a cada segmento le corresponden $8$ ángulos iguales, la cantidad de veces que aparece cada ángulo es múltiplo de $8$. Hay al menos $59$ partes iguales, luego, por lo menos $64$ de las partes son iguales. Nos quedan $16$ ángulos, entonces como mucho puede haber $2$ grupos más de $8$ elementos cada uno.
Un ejemplo es un decágono cíclico con $8$ lados de longitud $a$, un lado de longitud $b$ y uno de longitud $c$. En este caso hay $64$ ángulos $\alpha$, $8$ ángulos $\beta$ y $8$ ángulos $\gamma$.
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[math]

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