Rioplatense 2017 - N1 P4

Problemas que aparecen en el Archivo de Enunciados.
Avatar de Usuario
ésta

Colaborador-Varias OFO - Jurado-OFO 2015 OFO - Jurado-OFO 2017 OFO - Jurado-OFO 2018
Mensajes: 300
Registrado: Sab 16 Oct, 2010 4:55 pm
Medallas: 4
Nivel: Ñandú

Rioplatense 2017 - N1 P4

Mensaje sin leer por ésta »

Sea $ABCD$ un rectángulo de lados $AB$, $BC$, $CD$ y $DA$. Sean $P$ un punto del lado $AB$ y $Q$ un punto de la diagonal $BD$ tales que $PQ$ es paralelo a $AD$ y $AD = PQ + 2BQ$. La recta perpendicular a $AC$ que pasa por $P$ corta a $AC$ en $R$. Demostrar que $PR = 2PB$.
Imagen
ricarlos
Mensajes: 426
Registrado: Lun 17 Dic, 2012 2:24 pm

Re: Rioplatense 2017 - N1 P4

Mensaje sin leer por ricarlos »

Spoiler: mostrar
Sea $S$ un punto sobre $BC$ tal que $QS\parallel AB$. Vemos que $\Delta PQB\sim \Delta BCA$ y $\Delta PQB\cong \Delta BSP$.
Entonces $\Delta BSP\sim \Delta BCA$ eso nos lleva a $PS\parallel AC$. De este modo tenemos que $CRPS$ es un trapecio rectangulo.
Es decir si $T$ es un punto en $AC$ tal que $TS\parallel PR$ tendriamos que $TS=PR$ (1).

Sabemos que $AD = PQ + 2BQ$ que puede ser reescrito $BC = BS + CS$.

Como $\Delta PQB\sim \Delta TCS$ y ademas $CS= 2BQ$ se plantea que $\frac{BQ}{PB}=\frac{CS}{TS}=\frac{2BQ}{TS}$

De donde sale que $TS = 2PB$, luego por (1) es $PR = 2PB$.
Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.
Responder