Rioplatense 2017 - N2 P2

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ésta

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Rioplatense 2017 - N2 P2

Mensaje sin leer por ésta » Vie 08 Dic, 2017 6:11 pm

Sea $ABCD$ un cuadrilátero convexo con lados $AB$, $BC$, $CD$, $DA$, inscrito en una circunferencia. Las rectas $BC$ y $AD$ se cortan en $G$ ($C$ está entre $B$ y $G$). Las rectas $AB$ y $CD$ se cortan en $E$ ($A$ está entre $B$ y $E$). La circunferencia de diámetro $EG$ corta a la recta $BC$ en $H$ ($H \neq G$) y a $EC$ en $I$ ($I \neq E$). Demostrar que la recta $HI$ pasa por el punto medio de $BD$.
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sfreghy
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Re: Rioplatense 2017 - N2 P2

Mensaje sin leer por sfreghy » Vie 22 Dic, 2017 11:41 am

Sea $M$ punto medio de $BD$.
Luego para probar que $H, I, M$ son colineales, usaremos el recíproco de Menelao,
aí que debe verificarse en el triángulo $BCD$:
$$\frac{BM}{MD}.\frac{DI}{IC}.\frac{CH}{HB}=1$$
Es claro que: $BM=MD$,
por otro lado al ser $EG$ diámetro, se tiene que $GI \perp CD$ así que:
$$\frac{DI}{IC}=\frac{cot\angle{GDC}}{cot\angle{GCD}}$$
Análogamente $EG$ diámetro, entonces $EH \perp BC$ así que:
$$\frac{CH}{HB}=\frac{cot\angle{DCG}}{cot\angle{EBC}}$$
como $ABCD$ es cíclico, luego $\angle{GDC}=\angle{EBC}$,
reemplazando se obtiene la igualdad buscada. $LQQD.$
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