Rioplatense 2017 - N3 P5

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ésta

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Rioplatense 2017 - N3 P5

Mensaje sin leer por ésta » Vie 08 Dic, 2017 6:36 pm

Dado un triángulo $ABC$ con incentro $I$, sean $P$ en $AC$ tal que $PI$ $\bot$ $AC$ y $D$ el punto simétrico de $B$ con respecto al circuncentro del triángulo $ABC$. La recta $DI$ interseca nuevamente a la circunferencia circunscrita del triángulo $ABC$ en el punto $Q$. Demostrar que $QP$ es la bisectriz del ángulo $\angle AQC$.
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ricarlos
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Re: Rioplatense 2017 - N3 P5

Mensaje sin leer por ricarlos » Lun 18 Dic, 2017 1:14 pm

Dado un triangulo ABC y los puntos medios L, M y N de los lados BC, AC y AB, respectivamente, probar que las bisectrices de los angulos ANB, BLC y CMA son concurrentes.

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Gianni De Rico

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Re: Rioplatense 2017 - N3 P5

Mensaje sin leer por Gianni De Rico » Jue 27 Jun, 2019 10:10 pm

Solución:
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Notemos que $P$ el punto de tangencia del incírculo de $ABC$ con $AC$, luego $EA=AP$ y $CF=PC$. Sean $E$ y $F$ los puntos de tangencia del incírculo con $AB$ y $BC$, respectivamente, entonces $IE\perp BE$ y también $IF\perp BF$, pero como $D$ es el simétrico de $B$ respecto al circuncentro de $ABC$, tenemos $IQ\parallel DQ\perp BQ$, por lo que $E,F,Q$ están en la circunferencia de diámetro $BI$. Entonces $\angle BEQ=\angle BFQ\Rightarrow \angle QEA=180°-\angle BEQ=180°-\angle BFQ=\angle QFC$, y $\angle EAQ=\angle BAQ=\angle BCQ=\angle FCQ$, de donde $\triangle AEQ\simeq \triangle CFQ$, por lo que $\frac{AQ}{QC}=\frac{EA}{CF}=\frac{AP}{PC}$, y por el Teorema de la Bisectriz, tenemos que $QP$ es la bisectriz de $\angle AQC$.
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