Otro Pejelagarto? Dame la pala

[Turko Arias]

Sea $ABC$ un triángulo con incentro $I$. Se construye el cuadrado $IBPQ$ con $P$ y $Q$ en el mismo semiplano que $A$ respecto de $IB$ y con centro $K$, el cuadrado $INMC$ con $M$ y $N$ en el mismo semiplano que $B$ respecto de $IC$ y con centro $J$ y el cuadrado $DEIA$ con $D$ y $E$ en el mismo semiplano que $C$ respecto de $IA$ y con centro $H$. Probar que $\frac{Perimetro (ABC)}{Perimetro (HJK)}=\sqrt{2}$.

[Gianni De Rico]

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Viendo los triángulos isósceles rectángulos $\triangle IHA$, $\triangle IKB$ y $\triangle IJC$ se tiene que $H$, $K$ y $J$ se obtienen aplicando una rotohomotecia de centro $I$, ángulo $45^\circ$ y razón $\frac{1}{\sqrt{2}}$ a los puntos $A$, $B$ y $C$, respectivamente. Luego, $\triangle ABC$ y $\triangle HKJ$ son rotohomotéticos de centro $I$ y razón $\frac{1}{\sqrt{2}}$, la razón entre sus perímetros es la misma, es decir $P(\triangle HKJ)=\frac{P(\triangle ABC)}{\sqrt{2}}$. Por lo tanto, $\frac{P(\triangle ABC)}{P(\triangle HKJ)}=\sqrt{2}$, como se quería ver.