Uno de geo

[enigma1234]

Sea $ABC$ un triangulo sea su circuncentro $O$ su circuncirculo $\Gamma$ y su ortocentro $H$.Los puntos $D,E$ están en el lado $AB$ tal que $AD=BE$ y sean $P$ y $Q$ puntos en $\Gamma$ tal que$AP \parallel OD$ y $PQ \parallel BC$.Probar que $EQ=EH$.

[ricarlos]

Que onda che que cuando hago "vista previa" no me aparece el texto en Latex ??

Spoiler: mostrar

Es facil ver que $\angle AOD =\angle BOE = a$.

Sabemos que $\angle HCB = \angle HAB = b$, tambien que $O$ y $H$ son conjugados isogonales eso implica $\angle HAB = \angle OAC = b$.

Por otro lado $BQPC$ es un trapecio isosceles y entonces $\angle PAC = \angle QAB$.

$\angle AOD = \angle OAP = a$, por alternos internos.

Entonces $\angle PAC = \angle QAB = b-a$. Como $BOQ$ es un angulo central es $\angle BOQ = 2(b-a)$.
Prolongamos $CH$ hasta cortar a la circunferencia en $J$, vemos que $\angle BAJ = b$ con lo cual $AJH$ es un triangulo isosceles en $A$, asi como $EJH$ es isosceles en $E$, (HJ perp AB) entonces $EJ=EH$ (1).

El angulo central $JOB$ mide $2b$.

Entonces el angulo $JOE$ mide $JOE-BOE = 2b-a$

Luego el angulo $QOE$ mide $BOQ+BOE = 2(b-a) + a = 2b-a$

La igualdad de estos dos angulos calculados indica que $OE$ es mediatriz del segmento $JQ$, luego $EJ=EQ$.

Con este resultado y (1) nos queda $EQ=EH$.

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