Pentágono

[Martín Vacas Vignolo]

Sea $ABCDE$ un pentágono regular. Calcular la relación entre la diagonal y el lado del pentágono.

PD: La idea es no usar calculadora.

[DiegoLedesma]

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Al pentágono, por ser regular (de lado $l$), podemos inscribirlo en una circunferencia $\omega$.
Tomamos 4 cuatro vértices consecutivos de dicho pentágono y formamos un cuadrilátero. Al estar los 4 vértices sobre la circunferencia, el cuadrilátero construido será cíclico. Luego, aplicamos el Teorema de Ptolomeo: $d^{2}=d.l+l^{2}$ $\Rightarrow$ $d^{2}-d.l-l^{2}=0$
Resolviendo la cuadrática, se llega a que:
$d_{1}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}l=\phi$
$d_{2}=\frac{1-\sqrt{5}}{2}l$ (la desechamos, pues un lado no puede ser negativo)
$\therefore$ $d=\frac{1+\sqrt{5}}{2}l=\phi$

[Gianni De Rico]

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Marcamos las diagonales $AC$, $AD$ y $BE$, y el punto $X=AC\cap BE$
Los ángulos interiores del pentágono miden $108°$, entonces $B\widehat CA=\frac{180^\circ -108^\circ}{2}=36^\circ$ y $A\widehat CD=108^\circ -36^\circ =72^\circ =180^\circ -108^\circ$, por lo tanto, $AC\parallel DE$. De la misma forma se ve que $BE\parallel CD$. Por lo que $XCDE$ es un paralelogramo, y $CX=DE=CD=EX$.
Como los triángulos $ABC$ y $AED$ tienen dos lados y el ángulo comprendido entre ellos iguales, entonces son congruentes y $AC=AD$ (todas las diagonales son iguales). Tenemos que $C\widehat AD=B\widehat AE-B\widehat AC-E\widehat AD=108^\circ -36^\circ -36^\circ =36^\circ$, y como ambos son isósceles, concluimos que los triángulos $ACD$ y $CXB$ son semejantes, entonces $\frac{BX}{CD}=\frac{CX}{AC}$.
Podemos escribir $BX=BE-EX=AC-CD$ y $CX=CD$, entonces la ecuación nos queda $\frac{AC-CD}{CD}=\frac{CD}{AC}\Rightarrow \frac{AC}{CD}-1=\frac{CD}{AC}$, que es lo mismo que $\left (\frac{AC}{CD}\right )^2-\frac{AC}{CD}=1\Rightarrow \left (\frac{AC}{CD}\right )^2-\frac{AC}{CD}-1=0$.
Esto es una cuadrática en $\frac{AC}{CD}$ y su única respuesta positiva es el número áureo $\frac{1+\sqrt{5}}{2}=\varphi$.

Comentario: Debido a esto, al triángulo $ACD$ se lo conoce como triángulo áureo